Considere um OHS não amortecido, isto é, beta=0 na equação diferencial associada (1). Suponha que este oscilador está sujeito a uma força externa dada por f ext =F0 sen (raizk / m t).
Use o método da transformada de Laplace para calcular as oscilações forçadas y(t), sabendo que y(0)=0 e y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos um oscilador harmônico simples não amortecido (β=0) sujeito a uma força externa f_ext=F₀ sen(√(k/m) t), com condições iniciais y(0)=0 e y′(0)=0. O conteúdo aqui é aplicação da transformada de Laplace para EDOs lineares.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação de movimento. Dividindo m y″+k y=F₀ sin(ω₀ t) por m e definindo ω₀=√(k/m), obtemos
y''+ω₀^2y=F₀msin(ω₀t)

Passo 3

Aplicamos Laplace em ambos os lados. Usando y(0)=0, y′(0)=0 e
Ly''=s^2Y(s), Lsin(ω₀t)=ω₀s^2+ω₀^2,
temos
s^2Y(s)+ω₀^2Y(s)=F₀mcdotω₀s^2+ω₀^2

Passo 4

Isolamos Y(s):
Y(s)=F₀m;ω₀(s^2+ω₀^2)^2

Passo 5

Para inverter a transformada, lembramos do par
L^-1l1(s^2+ω₀^2)^2r =12ω₀^3l(sin(ω₀t)-ω₀tcos(ω₀t)r)
Multiplicando por (F₀/m) ω₀, segue

Passo 6

y(t)=F₀mω₀cdot12ω₀^3l(sin(ω₀t)-ω₀tcos(ω₀t)r) =F₀2mω₀^2l(sin(ω₀t)-ω₀tcos(ω₀t)r)

Resposta

y(t)=\frac{F₀}{2mω₀^2}\bigl(\sin(ω₀t)-ω₀t\cos(ω₀t)\bigr),\quad com ;ω₀=\sqrt{\tfrac{k}{m}}.

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