Nos exercícios de (5) a (8), aplique o Teste da Raíz para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva.
sumk=2^infty 1k^1+k,

Passo 1

Estamos com a série sumk=2^infty 1k^1+k, o conteúdo é o Teste da Raiz, que diz que, para ak, se L=limsupktoinfty|ak|^1/k, então a série converge se L<1, diverge se L>1 e é inconclusivo se L=1.

Passo 2

Vamos calcular o k-ésimo raiz:
|ak|^1/k = gl(1k^1+kgr)^1/k = 1k^(1+k)/k = 1k^1 + 1/k
Agora tomamos o limite quando ktoinfty:
L = limktoinfty 1k^1 + 1/k = limktoinfty 1k cdot k^1/k = 0,
pois k^1/kto1 e 1/kto0.

Passo 3

Como L=0<1, pelo Teste da Raiz a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Raiz.

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