Use o Teorema de Stokes para calcular ointC F d r, em que F(x, y, z)=-y^2 i+x j+z^2 k e C é a curva obtida pela interseção do plano y+z=2 com o cilindro x^2+y^2=1 (com orientação no sentido anti-horário quando vista de cima).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha com uma integral de superfície. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional de F e parametrizar a superfície limitada por C.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional de F. O rotacional (ou curl) de um campo vetorial F = Pi + Qj + Rk é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
No nosso caso, F = -y^2i + xj + z^2k, então:
  • P = -y^2
  • Q = x
  • R = z^2
Calculando as derivadas parciais:
  • partial Rpartial y = 0
  • partial Qpartial z = 0
  • partial Ppartial z = 0
  • partial Rpartial x = 0
  • partial Qpartial x = 1
  • partial Ppartial y = -2y
Portanto,
nabla times F = (0 - 0)i + (0 - 0)j + (1 - (-2y))k = (0)i + (0)j + (1 + 2y)k

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a superfície S limitada pela curva C. A curva C é a interseção do plano y + z = 2 com o cilindro x^2 + y^2 = 1. Vamos escolher o plano y + z = 2 como nossa superfície S.
Podemos resolver para z na equação do plano:
z = 2 - y
Então, a parametrização da superfície é:
r(x, y) = xi + yj + (2 - y)k
onde x^2 + y^2 <= 1 (já que está dentro do cilindro).

Passo 4

Precisamos encontrar o vetor normal à superfície S. Para isso, calculamos o produto cruzado dos vetores parciais da parametrização.
Calculando as derivadas parciais:
partial rpartial x = i
partial rpartial y = j - k
Então, o vetor normal n é:
n = partial rpartial x times partial rpartial y = i times (j - k) = i times j - i times k = k + j
Precisamos da orientação correta. Como a curva C tem orientação anti-horária vista de cima, o vetor normal deve apontar para cima. Portanto, usamos:
n = k + j

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo o rotacional e o vetor normal:
(nabla times F) cdot n = (1 + 2y)k cdot (k + j) = (1 + 2y)(1) + 0 = 1 + 2y

Passo 6

Agora, precisamos integrar 1 + 2y sobre a superfície S. Em coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta, com r in [0,1] e theta in [0, 2pi].
A integral se torna:
integral duplaS (1 + 2y) , dS = integral0^2pi integral0^1 (1 + 2(rsintheta)) r , dr , dtheta
Aqui, o termo r vem do jacobiano na mudança para coordenadas polares.

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^2pi integral0^1 r , dr , dtheta + 2 integral0^2pi integral0^1 r^2 sintheta , dr , dtheta
Calculando a primeira parte:
integral0^2pi [ 12 r^2 g|0^1 ] dtheta = integral0^2pi 12 , dtheta = 12 cdot 2pi = pi
Calculando a segunda parte:
2 integral0^2pi sintheta [ 13 r^3 g|0^1 ] dtheta = 23 integral0^2pi sintheta , dtheta = 23 cdot 0 = 0
(A integral de sintheta de 0 a 2pi é zero)

Resposta

Somando as duas partes, a integral total é pi + 0 = pi. Portanto,
ointC F cdot dr = pi

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