Use o Teorema de Stokes para calcular , em que e é a curva obtida pela interseção do plano com o cilindro (com orientação no sentido anti-horário quando vista de cima).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha com uma integral de superfície. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional de e parametrizar a superfície limitada por .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o rotacional de . O rotacional (ou curl) de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso, , então:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar a superfície limitada pela curva . A curva é a interseção do plano com o cilindro . Vamos escolher o plano como nossa superfície .
Podemos resolver para na equação do plano:
Então, a parametrização da superfície é:
onde (já que está dentro do cilindro).
Passo 4
Precisamos encontrar o vetor normal à superfície . Para isso, calculamos o produto cruzado dos vetores parciais da parametrização.
Calculando as derivadas parciais:
Então, o vetor normal é:
Precisamos da orientação correta. Como a curva tem orientação anti-horária vista de cima, o vetor normal deve apontar para cima. Portanto, usamos:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
Substituindo o rotacional e o vetor normal:
Passo 6
Agora, precisamos integrar sobre a superfície . Em coordenadas polares, onde e , com e .
A integral se torna:
Aqui, o termo vem do jacobiano na mudança para coordenadas polares.