Considere um oleoduto de aço (A|S| 1010) que possui 1 m de diâmetro e uma espessura de parede de 40 \mathrm{~mm}, \mathrm{O} oleoduto é muito bem isolado pelo seu lado externo e, antes do início do escoamento do fluido, suas paredes se encontram a uma temperatura uniforme de -20^{\circ} \mathrm{C}. Com o início do escoamento, o óleo quente a 60^{\circ} \mathrm{C} é bombeado através do oleoduto, gerando na superfície interna do duto condições convectivas correspondentes a um \mathrm{h}= 500 W /\left(m^{2} . K\right).
(a) Quais são os números de Biot e Fourier apropriados 8 min após o início do escoamento?
(b) Emt =8 \mathrm{~min}, qual é a temperatura na superfície externa do duto coberta pelo isolamento?
(c) Qual é o fluxo térmico do óleo para o duto em \mathrm{t}=8 \mathrm{~min} ?
(d) Quanta energia por metro de comprimento de tubulação é transferida do óleo para o tubo em \mathrm{t}=8 \mathrm{~min} ?

Passo 1

O enunciado (resumido e com todos os dados relevantes) — sem resolver nada ainda:
  • Diâmetro interno do tubo: D_i = 1{,}00\\ \mathrm{m}. Logo raio interno r_i = 0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da parede: e = 40\\ \mathrm{mm} = 0{,}04\\ \mathrm{m}. Logo raio externo r_o = r_i + e = 0{,}54\\ \mathrm{m}.
  • Condição inicial das paredes: temperatura uniforme T_i = -20^\circ\mathrm{C}.
  • Fluido (óleo) entra a T_\infty = 60^\circ\mathrm{C} e o coeficiente convectivo na superfície interna é h = 500\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • O lado externo do tubo está muito bem isolado (fluxo externo ≈ 0).
  • Tempo de interesse: t = 8\\ \mathrm{min} = 480\\ \mathrm{s}.
Propriedades do aço AISI 1010 (assumidas como valores típicos; como não foram fornecidas no enunciado, uso estas aproximações e explico que elas são necessárias para cálculos numéricos):
  • Condutividade térmica: k = 54\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Densidade: \rho = 7850\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Calor específico: c_p = 470\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Observações de modelagem (importante):
  • Como a face externa está isolada, todo o aquecimento acontece pela convecção na superfície interna e o calor fica armazenado na massa do tubo. Para tratamento unidimensional radial e para simplificar a solução transiente usarei o modelo de “lâmina espessa equivalente”: o comportamento radial aqui, com espessura pequena frente ao raio, pode ser aproximado por um slab de meia‑espessura L = e = 0{,}04\\ \mathrm{m} com convecção nas faces externas do slab replicado (isto é, a condição isolante externa corresponde a simetria no plano médio do slab espelhado). Assim, o comprimento característico para Bi e Fo que usarei é L_c = L = 0{,}04\\ \mathrm{m}. Esta escolha é equivalente, em aproximação, ao uso de L_c = V/A para a convecção na superfície interna (ambos dão valores muito próximos; com V/A teríamos 0{,}0416\\ \mathrm{m} — a diferença é pequena).

Passo 2

Cálculo do número de Biot. Fórmula e significado:
  • O número de Biot mede a razão entre resistência convectiva na superfície e resistência condutiva interna:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
onde h é o coeficiente convectivo, L_c é o comprimento característico e k é a condutividade térmica. Aqui L_c=0{,}04\\ \mathrm{m}, h=500\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} e k=54\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Cálculo:
\mathrm{Bi}=\frac{500\cdot 0{,}04}{54}=\frac{20}{54}\approx 0{,}3704.
Interpretação rápida (didática): \mathrm{Bi}\approx 0{,}37 indica que a resistência ao calor dentro do próprio metal é comparável (mesma ordem) à resistência de convecção na superfície interna. Assim não podemos usar a simplificação de corpo lumpado (válida quando \mathrm{Bi}\lesssim 0{,}1); precisamos de solução transiente com distribuição espacial.

Passo 3

Cálculo do número de Fourier. Primeiro calculemos a difusividade térmica \alpha:
\alpha=\frac{k}{\rho c_p}.
Substituindo as propriedades assumidas:
\alpha=\frac{54}{7850\cdot 470}=\frac{54}{3\,689\,500}\approx 1{,}463\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
O número de Fourier (adimensional de tempo) é
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{L_c^2}.
Com t=480\\ \mathrm{s} e L_c=0{,}04\\ \mathrm{m}:
\mathrm{Fo}=\frac{1{,}463\times 10^{-5}\cdot 480}{(0{,}04)^2}=\frac{7{,}0224\times 10^{-3}}{0{,}0016}\approx 4{,}39.
Interpretação rápida: \mathrm{Fo}\approx 4{,}39 é relativamente grande — sugere que o problema já progrediu consideravelmente rumo ao regime estacionário (a diferença entre temperaturas internas tende a diminuir), mas como \mathrm{Bi} não é pequeno, ainda há variação espacial que devemos considerar.

Passo 4

Estratégia para encontrar a temperatura na superfície externa (coberta pelo isolamento) aos t=8 min:
  • Com a modelagem por lâmina espelhada, a superfície externa isolada do tubo corresponde ao centro (plano de simetria) do slab espelhado; a superfície interna do tubo corresponde à face do slab sujeita à convecção.
  • A solução transiente para um slab de meia‑espessura com convecção em ambas as faces (caso espelhado) é dada por uma série de modos próprios. A forma adimensional para a temperatura (tomando \theta=(T-T_\infty)/(T_i-T_\infty)) é:
\theta(X,\mathrm{Fo})=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\cos(\zeta_n X)\,e^{-\zeta_n^2 \mathrm{Fo}},
onde X=x/L é a coordenada adimensional (0 no centro, 1 na superfície), os autovalores \zeta_n são raízes da equação transcendente
\zeta_n \tan\zeta_n=\mathrm{Bi},
e os coeficientes
C_n=\frac{4\sin\zeta_n}{2\zeta_n+\sin(2\zeta_n)}.
  • Para um cálculo prático e didático, a “aproximação de primeiro modo” (usar apenas n=1) costuma ser boa quando \mathrm{Fo} não é muito pequeno (aqui \mathrm{Fo}\approx 4{,}39), porque os modos superiores decaem muito mais rápido. Vou aplicar essa aproximação e explicar cada passo.

Passo 5

Determine o primeiro autovalor \zeta_1 resolvendo
\zeta \tan\zeta = \mathrm{Bi}=0{,}3704.
Procuramos a primeira raiz positiva entre 0 e \pi/2. Fazendo iterações (ou usando uma pequena busca numérica) encontramos:
\zeta_1 \approx 0{,}572\\ \text{(radianos)}.
Agora calculemos o coeficiente C_1. Precisamos de \sin\zeta_1 e \sin(2\zeta_1):
  • \sin\zeta_1\approx 0{,}5426.
  • \sin(2\zeta_1)=2\sin\zeta_1\cos\zeta_1\approx 0{,}9100 (usando \cos\zeta_1\approx0{,}8399).
Então
C_1=\frac{4\sin\zeta_1}{2\zeta_1+\sin(2\zeta_1)}=\frac{4\cdot 0{,}5426}{2\cdot 0{,}572 + 0{,}9100}\approx\frac{2{,}1704}{2{,}054}\approx 1{,}056.

Passo 6

Temperatura no centro do slab (que corresponde à superfície externa do tubo isolado).
  • No centro X=0 temos \cos(\zeta_1 X)=1. A contribuição do primeiro modo para a função adimensional é
\theta_{\text{centro}}\approx C_1 e^{-\zeta_1^2\mathrm{Fo}}.
Calculemos \zeta_1^2\mathrm{Fo} \approx (0{,}572)^2\cdot 4{,}39 \approx 0{,}327\cdot 4{,}39 \approx 1{,}435. Assim:
\theta_{\text{centro}}\approx 1{,}056\cdot e^{-1{,}435}\approx 1{,}056\cdot 0{,}238\approx 0{,}252.
Recordando a definição
\theta=\frac{T-T_\infty}{T_i-T_\infty},
temos T_i-T_\infty = -20 - 60 = -80\\ ^\circ\mathrm{C}. Portanto a temperatura no centro (ou seja, temperatura da superfície externa do tubo coberta pelo isolamento) é
T_{\text{ext}} = T_\infty + \theta_{\text{centro}}\,(T_i-T_\infty) = 60 + 0{,}252\cdot(-80)\approx 60 - 20{,}16 \approx 39{,}84^\circ\mathrm{C}.
Arredondando: T_{\text{ext}}\approx 39{,}8^\circ\mathrm{C} (praticamente 40^\circ\mathrm{C}).
Comentário didático: Isso quer dizer que 8 minutos depois a superfície externa (isolada) já aqueceu bastante, estando bem próxima da temperatura do óleo, porque o tempo adimensional é grande e a massa térmica do tubo foi aquecida.

Passo 7

Temperatura na superfície interna do tubo (contato com o óleo) e fluxo térmico naquele instante.
Para obter a temperatura na superfície interna usamos a mesma aproximação de primeiro modo, avaliando a função em X=1 (superfície do slab). A parte adimensional na superfície é
\theta_{\text{surf}}\approx C_1\cos(\zeta_1)\,e^{-\zeta_1^2\mathrm{Fo}}.
Calculando \cos(\zeta_1)\approx 0{,}8399, temos
\theta_{\text{surf}}\approx 1{,}056\cdot 0{,}8399\cdot 0{,}238\approx 0{,}212.
Logo a temperatura da superfície interna é
T_{\text{int}} = T_\infty + \theta_{\text{surf}}(T_i-T_\infty) =60 + 0{,}212\cdot(-80)\approx 60 -16{,}96 \approx 43{,}04^\circ\mathrm{C}.
Agora o fluxo térmico convectivo por unidade de área (fluxo do óleo para o duto) em t=8 min é dado por a lei de convecção:
\dot q''(t)=h\left(T_\infty - T_{\text{int}}\right).
Substituindo:
\dot q''(8\\ \mathrm{min})=500\cdot(60-43{,}04)\\ \mathrm{W/m^2}\approx 500\cdot 16{,}96\approx 8\,480\\ \mathrm{W/m^2}.
Arredondando: \dot q''\approx 8{,}48\times 10^{3}\\ \mathrm{W/m^2} (fluxo do óleo para o tubo).

Passo 8

Energia transferida por metro de tubo ao tempo t=8 min.
Como o lado externo está isolado, a energia retirada do óleo até o instante t ficou acumulada na massa do tubo. Logo a energia por unidade de comprimento do tubo, E' (J por metro), é dada pela variação de energia interna do metal:
E' = m'\,c_p\,(T_{\mathrm{m}} - T_i),
onde m' é a massa por metro de comprimento e T_{\mathrm{m}} é a temperatura média do material no instante t.
Calculando a massa por metro:
m'=\rho\cdot\text{área da seção transversal do tubo}=\rho\pi\left(r_o^2-r_i^2\right).áçã
Com r_o^2-r_i^2=0{,}54^2-0{,}50^2=0{,}2916-0{,}25=0{,}0416\\ \mathrm{m^2}:
m' = 7850\cdot\pi\cdot 0{,}0416\approx 7850\cdot 0{,}13073\approx 1026{,}9\\ \mathrm{kg/m}.
Para a temperatura média T_{\mathrm{m}} usamos a aproximação de primeiro modo para obter a média adimensional no slab:
\theta_{\mathrm{m}}\approx C_1\frac{\sin\zeta_1}{\zeta_1} e^{-\zeta_1^2\mathrm{Fo}}.
Já tínhamos C_1\approx 1{,}056, \sin\zeta_1\approx 0{,}5426, \zeta_1\approx 0{,}572. Então
\frac{\sin\zeta_1}{\zeta_1}\approx\frac{0{,}5426}{0{,}572}\approx 0{,}9485,
e assim
\theta_{\mathrm{m}}\approx 1{,}056\cdot 0{,}9485\cdot 0{,}238\approx 0{,}2385.
Logo
T_{\mathrm{m}}=T_\infty + \theta_{\mathrm{m}}(T_i-T_\infty)=60 + 0{,}2385\cdot (-80)\approx 60 -19{,}08\approx 40{,}92^\circ\mathrm{C}.
Agora a energia acumulada por metro:
E' = m' c_p (T_{\mathrm{m}}-T_i) =1026{,}9\cdot 470\cdot(40{,}92 -(-20))\\ \mathrm{J}.
A diferença de temperatura é 40{,}92+20=60{,}92\\ \mathrm{K}. Calculando:
E'\approx 1026{,}9\cdot 470\cdot 60{,}92 \approx 2{,}94\times 10^{7}\\ \mathrm{J/m}.
Em unidades mais práticas: E'\approx 29{,}4\\ \mathrm{MJ/m}, que equivale a aproximadamente 8{,}17\\ \mathrm{kWh/m}.

Resposta

(a) \mathrm{Bi}\approx 0{,}370, \mathrm{Fo}\approx 4{,}39.\n
(b) Temperatura da superfície externa (coberta pelo isolamento) em t=8\\ \mathrm{min}: T_{\text{ext}}\approx 39{,}8^\circ\mathrm{C}.\n
(c) Fluxo térmico do óleo para o duto em t=8\\ \mathrm{min}: \dot q''\approx 8{,}48\times 10^{3}\\ \mathrm{W/m^2} (do óleo para o tubo).\n
(d) Energia acumulada (transferida) por metro de comprimento em t=8\\ \mathrm{min}: E'\approx 2{,}94\times 10^{7}\\ \mathrm{J/m} (aprox. 29{,}4\\ \mathrm{MJ/m} ou 8{,}17\\ \mathrm{kWh/m}).

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