Considere um oleoduto de aço (A|S| 1010) que possui 1 m de diâmetro e uma espessura de parede de
oleoduto é muito bem isolado pelo seu lado externo e, antes do início do escoamento do fluido, suas paredes se encontram a uma temperatura uniforme de
. Com o início do escoamento, o óleo quente a
é bombeado através do oleoduto, gerando na superfície interna do duto condições convectivas correspondentes a um
.
(a) Quais são os números de Biot e Fourier apropriados 8 min após o início do escoamento?
(b) Emt
, qual é a temperatura na superfície externa do duto coberta pelo isolamento?
(c) Qual é o fluxo térmico do óleo para o duto em
?
(d) Quanta energia por metro de comprimento de tubulação é transferida do óleo para o tubo em
?
(a) Quais são os números de Biot e Fourier apropriados 8 min após o início do escoamento?
(b) Emt
(c) Qual é o fluxo térmico do óleo para o duto em
(d) Quanta energia por metro de comprimento de tubulação é transferida do óleo para o tubo em
Passo 1
O enunciado (resumido e com todos os dados relevantes) — sem resolver nada ainda:
- Diâmetro interno do tubo:
. Logo raio interno . - Espessura da parede:
. Logo raio externo . - Condição inicial das paredes: temperatura uniforme
. - Fluido (óleo) entra a
e o coeficiente convectivo na superfície interna é . - O lado externo do tubo está muito bem isolado (fluxo externo ≈ 0).
- Tempo de interesse:
.
Propriedades do aço AISI 1010 (assumidas como valores típicos; como não foram fornecidas no enunciado, uso estas aproximações e explico que elas são necessárias para cálculos numéricos):
- Condutividade térmica:
. - Densidade:
. - Calor específico:
.
Observações de modelagem (importante):
- Como a face externa está isolada, todo o aquecimento acontece pela convecção na superfície interna e o calor fica armazenado na massa do tubo. Para tratamento unidimensional radial e para simplificar a solução transiente usarei o modelo de “lâmina espessa equivalente”: o comportamento radial aqui, com espessura pequena frente ao raio, pode ser aproximado por um slab de meia‑espessura
com convecção nas faces externas do slab replicado (isto é, a condição isolante externa corresponde a simetria no plano médio do slab espelhado). Assim, o comprimento característico para Bi e Fo que usarei é . Esta escolha é equivalente, em aproximação, ao uso de para a convecção na superfície interna (ambos dão valores muito próximos; com teríamos — a diferença é pequena).
Passo 2
Cálculo do número de Biot. Fórmula e significado:
- O número de Biot mede a razão entre resistência convectiva na superfície e resistência condutiva interna:
onde
é o coeficiente convectivo,
é o comprimento característico e
é a condutividade térmica. Aqui
,
e
.
Cálculo:
Interpretação rápida (didática):
indica que a resistência ao calor dentro do próprio metal é comparável (mesma ordem) à resistência de convecção na superfície interna. Assim não podemos usar a simplificação de corpo lumpado (válida quando
); precisamos de solução transiente com distribuição espacial.
Passo 3
Cálculo do número de Fourier. Primeiro calculemos a difusividade térmica
:
Substituindo as propriedades assumidas:
O número de Fourier (adimensional de tempo) é
Com
e
:
Interpretação rápida:
é relativamente grande — sugere que o problema já progrediu consideravelmente rumo ao regime estacionário (a diferença entre temperaturas internas tende a diminuir), mas como
não é pequeno, ainda há variação espacial que devemos considerar.
Passo 4
Estratégia para encontrar a temperatura na superfície externa (coberta pelo isolamento) aos
min:
- Com a modelagem por lâmina espelhada, a superfície externa isolada do tubo corresponde ao centro (plano de simetria) do slab espelhado; a superfície interna do tubo corresponde à face do slab sujeita à convecção.
- A solução transiente para um slab de meia‑espessura com convecção em ambas as faces (caso espelhado) é dada por uma série de modos próprios. A forma adimensional para a temperatura (tomando
) é:
onde
é a coordenada adimensional (0 no centro, 1 na superfície), os autovalores
são raízes da equação transcendente
e os coeficientes
- Para um cálculo prático e didático, a “aproximação de primeiro modo” (usar apenas
) costuma ser boa quando não é muito pequeno (aqui ), porque os modos superiores decaem muito mais rápido. Vou aplicar essa aproximação e explicar cada passo.
Passo 5
Determine o primeiro autovalor
resolvendo
Procuramos a primeira raiz positiva entre
e
. Fazendo iterações (ou usando uma pequena busca numérica) encontramos:
Agora calculemos o coeficiente
. Precisamos de
e
:
-
. -
(usando ).
Então
Passo 6
Temperatura no centro do slab (que corresponde à superfície externa do tubo isolado).
- No centro
temos . A contribuição do primeiro modo para a função adimensional é
Calculemos
. Assim:
Recordando a definição
temos
. Portanto a temperatura no centro (ou seja, temperatura da superfície externa do tubo coberta pelo isolamento) é
Arredondando:
(praticamente
).
Comentário didático: Isso quer dizer que 8 minutos depois a superfície externa (isolada) já aqueceu bastante, estando bem próxima da temperatura do óleo, porque o tempo adimensional é grande e a massa térmica do tubo foi aquecida.
Passo 7
Temperatura na superfície interna do tubo (contato com o óleo) e fluxo térmico naquele instante.
Para obter a temperatura na superfície interna usamos a mesma aproximação de primeiro modo, avaliando a função em
(superfície do slab). A parte adimensional na superfície é
Calculando
, temos
Logo a temperatura da superfície interna é
Agora o fluxo térmico convectivo por unidade de área (fluxo do óleo para o duto) em
min é dado por a lei de convecção:
Substituindo:
Arredondando:
(fluxo do óleo para o tubo).
Passo 8
Energia transferida por metro de tubo ao tempo
min.
Como o lado externo está isolado, a energia retirada do óleo até o instante
ficou acumulada na massa do tubo. Logo a energia por unidade de comprimento do tubo,
(J por metro), é dada pela variação de energia interna do metal:
onde
é a massa por metro de comprimento e
é a temperatura média do material no instante
.
Calculando a massa por metro:
Com
:
Para a temperatura média
usamos a aproximação de primeiro modo para obter a média adimensional no slab:
Já tínhamos
,
,
. Então
e assim
Logo
Agora a energia acumulada por metro:
A diferença de temperatura é
. Calculando:
Em unidades mais práticas:
, que equivale a aproximadamente
.
Resposta
(a)
,
.\n
(b) Temperatura da superfície externa (coberta pelo isolamento) em :
.\n
(c) Fluxo térmico do óleo para o duto em :
(do óleo para o tubo).\n
(d) Energia acumulada (transferida) por metro de comprimento em :
(aprox.
ou
).
(b) Temperatura da superfície externa (coberta pelo isolamento) em
(c) Fluxo térmico do óleo para o duto em
(d) Energia acumulada (transferida) por metro de comprimento em