Considere
e
a frequência angular e período de uma oscilação. Mostre que
Dica:
.
Dica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente mostre que a média de
em um período
é zero. A matéria envolve integrais e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como calcular a média de uma função usando integrais e usar algumas identidades trigonométricas pra facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a média de uma função
em um período
é dada por:
No nosso caso,
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração, que não importa aqui porque vamos calcular um valor definido.
Passo 4
Aplicando os limites de integração de
a
, temos:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Vamos lembrar que o período
está relacionado com a frequência angular
pela fórmula:
Então,
. E sabemos que
, porque o cosseno completa ciclos completos e retorna ao mesmo valor.
Passo 6
Substituindo
na expressão, temos:
Resposta
Portanto,