Considere omega e T a frequência angular e período de uma oscilação. Mostre que
1T integral0^T sin (2 omega t) d t=0
Dica: cos ^2 x=12[1+cos 2 x] ; sin ^2 x=12[1-cos 2 x].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente mostre que a média de sin(2 omega t) em um período T é zero. A matéria envolve integrais e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como calcular a média de uma função usando integrais e usar algumas identidades trigonométricas pra facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a média de uma função f(t) em um período T é dada por:
Média = 1T integral0^T f(t) , dt é
No nosso caso, f(t) = sin(2 omega t), então temos:
1T integral0^T sin(2 omega t) , dt

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de sin(2 omega t) em relação a t é:
integral sin(2 omega t) , dt = -12 omega cos(2 omega t) + C
Onde C é a constante de integração, que não importa aqui porque vamos calcular um valor definido.

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 0 a T, temos:
[ -12 omega cos(2 omega t) ]0^T = -12 omega cos(2 omega T) + 12 omega cos(0)
Sabemos que cos(0) = 1, então:
= -12 omega cos(2 omega T) + 12 omega

Passo 5

Vamos lembrar que o período T está relacionado com a frequência angular omega pela fórmula:
T = 2piomega
Então, 2 omega T = 2 omega cdot 2piomega = 4pi. E sabemos que cos(4pi) = 1, porque o cosseno completa ciclos completos e retorna ao mesmo valor.

Passo 6

Substituindo cos(2 omega T) = 1 na expressão, temos:
= -12 omega cdot 1 + 12 omega = -12 omega + 12 omega = 0

Resposta

Portanto,
1T integral0^T sin(2 omega t) , dt = 0

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