O que é fator de mérito ou fator Q associado a um oscilador harmônico amortecido com amortecimento fraco? Qual seu comportamento à medida em que o amortecimento seja cada vez menor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando sobre o fator de mérito, também conhecido como fator Q, que está relacionado a um oscilador harmônico amortecido com amortecimento fraco. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um oscilador harmônico amortecido, o que representa o fator Q e como ele se comporta quando o amortecimento diminui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico amortecido. Imagine um sistema como uma mola com um peso que oscila para frente e para trás, mas com alguma resistência, como o atrito. Essa resistência é o amortecimento, que faz com que as oscilações diminuam com o tempo.
Matematicamente, a equação que descreve esse sistema é:
md^2xdt^2 + cdxdt + kx = 0
Onde:
  • m é a massa,
  • c é o coeficiente de amortecimento,
  • k é a constante da mola,
  • x é o deslocamento.

Passo 3

O fator de mérito Q é uma medida de quanta energia está armazenada no sistema em comparação com a energia dissipada por ciclo de oscilação. Em termos simples, ele indica quão “grosso” ou “fino” é o pico de ressonância do sistema. Um Q alto significa que o sistema oscila por muito tempo com pouca perda de energia, enquanto um Q baixo indica que a energia é dissipada rapidamente.
A fórmula para o fator Q em um oscilador harmônico amortecido é:
Q = momega0c
Onde omega0 é a frequência natural do sistema, dada por:
omega0 = raizkm

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento do fator Q à medida que o amortecimento ( c) diminui. Observando a fórmula:
Q = momega0c
Vemos que o fator Q é inversamente proporcional ao coeficiente de amortecimento c. Então, se c diminui, o denominador da fração fica menor, fazendo com que Q aumente.
Isso significa que, à medida que o amortecimento diminui, o fator de mérito Q aumenta. Isso indica que o sistema manterá suas oscilações por mais tempo e o pico de ressonância se tornará mais estreito e alto.

Resposta

O fator de mérito ou fator Q em um oscilador harmônico amortecido com amortecimento fraco mede a relação entre a energia armazenada e a energia dissipada por ciclo de oscilação. Ele é dado por:
Q = momega0c
À medida que o amortecimento c diminui, o fator Q aumenta, indicando que o sistema oscila por mais tempo com menos dissipação de energia.

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