O que é fator de mérito ou fator
associado a um oscilador harmônico amortecido com amortecimento fraco? Qual seu comportamento à medida em que o amortecimento seja cada vez menor?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando sobre o fator de mérito, também conhecido como fator
, que está relacionado a um oscilador harmônico amortecido com amortecimento fraco. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um oscilador harmônico amortecido, o que representa o fator
e como ele se comporta quando o amortecimento diminui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico amortecido. Imagine um sistema como uma mola com um peso que oscila para frente e para trás, mas com alguma resistência, como o atrito. Essa resistência é o amortecimento, que faz com que as oscilações diminuam com o tempo.
Matematicamente, a equação que descreve esse sistema é:
Onde:
-
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a constante da mola, -
é o deslocamento.
Passo 3
O fator de mérito
é uma medida de quanta energia está armazenada no sistema em comparação com a energia dissipada por ciclo de oscilação. Em termos simples, ele indica quão “grosso” ou “fino” é o pico de ressonância do sistema. Um
alto significa que o sistema oscila por muito tempo com pouca perda de energia, enquanto um
baixo indica que a energia é dissipada rapidamente.
A fórmula para o fator
em um oscilador harmônico amortecido é:
Onde
é a frequência natural do sistema, dada por:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento do fator
à medida que o amortecimento (
) diminui. Observando a fórmula:
Vemos que o fator
é inversamente proporcional ao coeficiente de amortecimento
. Então, se
diminui, o denominador da fração fica menor, fazendo com que
aumente.
Isso significa que, à medida que o amortecimento diminui, o fator de mérito
aumenta. Isso indica que o sistema manterá suas oscilações por mais tempo e o pico de ressonância se tornará mais estreito e alto.
Resposta
O fator de mérito ou fator
em um oscilador harmônico amortecido com amortecimento fraco mede a relação entre a energia armazenada e a energia dissipada por ciclo de oscilação. Ele é dado por:
À medida que o amortecimento
diminui, o fator
aumenta, indicando que o sistema oscila por mais tempo com menos dissipação de energia.