Discuta sobre os amortecimentos i) subcrítico, ii) crítico e iii) supercrítico. Dê justificativas matemáticas sobre as afirmações contidas na discussão.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa discutir sobre os tipos de amortecimento em sistemas dinâmicos: subcrítico, crítico e supercrítico. Além disso, temos que dar justificativas matemáticas para cada um desses casos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais que modelam sistemas amortecidos e como os coeficientes influenciam o comportamento do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema massamola-amortecedor pode ser descrito por uma equação diferencial do segundo grau:
Onde:
- $ m $ é a massa,
- $ c $ é o coeficiente de amortecimento,
- $ k $ é a constante da mola,
- $ x $ é o deslocamento.
Passo 3
Para resolver essa equação, assumimos soluções da forma $ x(t) = e^{\lambda t} $. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para $ \lambda $ usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
O discriminante dessa equação quadrática é $ \Delta = c^2 - 4mk $. A natureza das raízes dessa equação determina o comportamento do sistema:
- Subcrítico (Subamortecido): Quando $ \Delta < 0 $ ou seja, $ c^2 < 4mk $.
- Crítico (Amortecimento Crítico): Quando $ \Delta = 0 $ ou seja, $ c^2 = 4mk $.
- Supercrítico (Superamortecido): Quando $ \Delta > 0 $ ou seja, $ c^2 > 4mk $.
Passo 5
Vamos analisar cada caso:
i) Amortecimento Subcrítico ($ c^2 < 4mk $)
- Matematicamente: O discriminante $ \Delta < 0 $ indica raízes complexas conjugadas:
- Interpretação: O sistema oscila enquanto o movimento diminui com o tempo, devido ao amortecimento. É chamado de subamortecido porque a energia ainda permite oscilações.
ii) Amortecimento Crítico ($ c^2 = 4mk $)
- Matematicamente: O discriminante $ \Delta = 0 $ indica raízes reais e iguais:
- Interpretação: O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, e o amortecimento é exatamente suficiente para evitar oscilações. É o menor valor de $ c $ que evita oscilações, por isso é chamado de amortecimento crítico.
iii) Amortecimento Supercrítico ($ c^2 > 4mk $)
- Matematicamente: O discriminante $ \Delta > 0 $ indica raízes reais e distintas:
- Interpretação: O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas o amortecimento é maior que o crítico. Isso faz com que o retorno ao equilíbrio seja mais lento comparado ao caso crítico.
Resposta
Em resumo, os tipos de amortecimento são determinados pelo valor do coeficiente de amortecimento $ c $ em relação a $ 4mk $:
- Subcrítico ($ c^2 < 4mk $): O sistema oscila com amplitude decrescente.
- Crítico ($ c^2 = 4mk $): O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilações, de forma mais eficiente.
- Supercrítico ($ c^2 > 4mk $): O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilações, mas de forma mais lenta que no caso crítico.
Essas classificações são justificadas matematicamente pela análise das raízes da equação característica do sistema, que dependem do discriminante $ c^2 - 4mk $.