Considere Omega=1,2,3,4,5,6 e que P(omega in Omega)=1 / 6 forall omega in Omega, ou seja, os elementos são equiprováveis. Além disso, considere que A=1,2,3, B=2,3,4 e C=4,5,6. Calcule as seguintes probabilidades
a) P(A cup B)
b) P(A cup C)
c) P(B cup C)
d) A
e) B
f) A
g) B
h)
i)
j) Verifique se é independente de .
k) Verifique se e são eventos mutuamente exclusivos.
  1. Calcule

Passo 1

O enunciado fala de um espaço amostral finito Omega=1,2,3,4,5,6 com todos os omega equiprováveis (probabilidade 1/6). Os eventos são A=1,2,3, B=2,3,4 e C=4,5,6. Vamos usar o modelo de probabilidade clássica, onde para qualquer evento E vale:
Por definição de probabilidade clássica temos
P(E)=|E||Omega|=|E|6

Passo 2

Primeiro, calculamos as probabilidades básicas de A,B,C usando suas cardinalidades:
|A|=3, |B|=3, |C|=3,
P(A)=36=tfrac12, P(B)=36=tfrac12, P(C)=36=tfrac12

Passo 3

Para Acup B usamos a fórmula da união de dois eventos:
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)

Passo 4

Como Acap B=2,3 tem cardinalidade 2,
P(Acap B)=26=tfrac13, então
P(Acup B)=tfrac12+tfrac12-tfrac13=1-tfrac13=tfrac23

Passo 5

Para Acup C note que A e C são disjuntos, pois Acap C=emptyset, logo
P(Acup C)=P(A)+P(C)=tfrac12+tfrac12=1

Passo 6

Para Bcup C aplicamos de novo a fórmula da união:
Bcap C=4 tem probabilidade 1/6, então
P(Bcup C)=tfrac12+tfrac12-tfrac16=1-tfrac16=tfrac56

Passo 7

Os complementos têm probabilidades
P(A^c)=1-P(A)=1-tfrac12=tfrac12, P(B^c)=tfrac12, P(C^c)=tfrac12

Passo 8

Para Acup C^c note que C^c=1,2,3=A, então a união é A e
P(Acup C^c)=P(A)=tfrac12

Passo 9

Pelo teorema de De Morgan,
A^ccap B^c=(Acup B)^c

Passo 10

Como Acup B=1,2,3,4 tem probabilidade 4/6=2/3, seu complemento tem probabilidade
P(A^ccap B^c)=1-tfrac23=tfrac13

Passo 11

Também
A^ccup B^c=(Acap B)^c

Passo 12

Como P(Acap B)=1/3,
P(A^ccup B^c)=1-tfrac13=tfrac23

Passo 13

Para verificar independência entre A e B comparamos P(Acap B) e P(A)P(B). Temos
P(Acap B)=tfrac13, P(A)P(B)=tfrac12cdottfrac12=tfrac14, como não são iguais, não são independentes.

Passo 14

Para checar exclusão mútua, bastaria ver se Acap B=emptyset. Como Acap B=2,3neqemptyset, não são mutuamente exclusivos.

Passo 15

Finalmente, para P(Acup Bcup C^c) note que C^c=1,2,3 e
Acup Bcup C^c=1,2,3,4, cuja probabilidade é
46=tfrac23

Resposta

a) 2/3
b) 1
c) 5/6
d) 1/2
e) 1/2
f) 1/2
g) 1/2
h) 1/3
i) 2/3
j) Não (não há independência)
k) Não (não são mutuamente exclusivos)
  1. 2/3

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