Um engenheiro de qualidade deseja analisar a resistência à tração de uma nova liga metálica. Ele coletou uma amostra de 20 peças da liga e mediu a resistência à tração (em MPa) de cada uma. Os valores medidos são os seguintes:
3536353635373635363635353636353736353636
Com base nos dados fornecidos responda as seguintes questões e interprete cada resultado:
a) Crie uma distribuição de frequências para os dados de resistência à tração e faça um gráfico.
b) Calcule a média da resistência à tração.
c) Determine a mediana da resistência à tração.
d) Encontre a moda da resistência à tração.
e) Calcule o desvio-médio das resistências à tração.
f) Calcule a variância e o desvio-padrão das resistências à tração.
g) Calcule o coeficiente de variação.
h) Calcule q1, q2 e q3.
i) Faça um box-plot.

Passo 1

O enunciado pede para analisar estatísticas descritivas (distribuição de frequências, medidas de tendência central, dispersão, quartis e box‐plot) de 20 medições de resistência à tração (em MPa). Vamos precisar organizar os dados, contar frequências, calcular média, mediana, moda, desvio‐médio, variância, desvio‐padrão, coeficiente de variação, quartis e, por fim, construir o box‐plot.

Passo 2

Primeiro organizamos os dados distintos e contamos quantas vezes cada valor aparece. Há somente três valores possíveis: 35 MPa, 36 MPa e 37 MPa. Contando na lista de 20 medições, obtemos:
Valor – Frequência absoluta
• 35 – 8
• 36 – 10
• 37 – 2
Para o gráfico, basta usar um histograma ou gráfico de barras desses três valores.

Passo 3

A média aritmética é dada por
barx = 1nsumi=1^n xi
Substituindo, com n=20,
barx = 8cdot35 + 10cdot36 + 2cdot3720 = 280 + 360 + 7420 = 71420 = 35,7 MPa

Passo 4

Para a mediana, ordenamos os dados. Em ordem crescente temos 8 valores iguais a 35, depois 10 iguais a 36 e 2 iguais a 37. Como n=20 (par), a mediana é a média do 10.º e 11.º elementos ordenados, ambos iguais a 36. Logo, mediana = 36 MPa.

Passo 5

A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Aqui 36 MPa ocorre 10 vezes, mais que os demais. Logo, moda = 36 MPa.

Passo 6

O desvio‐médio é
DM = 1nsumi=1^n |xi - barx|
Como há 8 valores a 35 (distância |35–35{,}7|=0{,}7), 10 a 36 (|36–35{,}7|=0{,}3) e 2 a 37 (|37–35{,}7|=1{,}3), temos
DM = 8cdot0,7 + 10cdot0,3 + 2cdot1,320 = 5,6 + 3 + 2,620 = 11,220 = 0,56 MPa

Passo 7

A variância populacional é
sigma^2 = 1nsumi=1^n (xi - barx)^2
Calculando diferenças ao quadrado: para 35 temos (–0{,}7)²=0{,}49 (8 vezes), para 36 temos 0{,}3²=0{,}09 (10 vezes) e para 37 temos 1{,}3²=1{,}69 (2 vezes). Então
sigma^2 = 8cdot0,49 + 10cdot0,09 + 2cdot1,6920 = 3,92 + 0,9 + 3,3820 = 8,220 = 0,41 (MPa)^2
O desvio‐padrão é
sigma = raiz0,41 approx 0,64 MPa

Passo 8

O coeficiente de variação é definido por
CV = sigmabarx times 100%
Substituindo, temos
CV = 0,6435,7 times 100% approx 1,8%

Passo 9

Os quartis dividem os dados ordenados em quatro partes iguais. Com n=20:
• Q1 é a mediana dos 10 primeiros valores (8 de 35, depois 2 de 36): Q1 = 35.
• Q2 = mediana geral = 36.
• Q3 é a mediana dos 10 últimos valores (primeiro 8 são 36, depois 2 são 37): Q3 = 36.

Passo 10

Para o box‐plot desenhamos uma caixa de Q1=35 até Q3=36, linha interna em Q2=36, e “bigodes” que vão do valor mínimo (35) ao máximo (37). Isso visualiza a dispersão e possíveis outliers (não há aquí).

Resposta

Distribuição de frequências: 35 MPa (8), 36 MPa (10), 37 MPa (2).
Média = 35,7 MPa.
Mediana = 36 MPa.
Moda = 36 MPa.
Desvio‐médio = 0,56 MPa.
Variância = 0,41 (MPa)²; Desvio‐padrão = 0,64 MPa.
Coeficiente de variação ≈ 1,8 %.
Quartis: Q1 = 35; Q2 = 36; Q3 = 36.
Box‐plot: caixa de 35 a 36, mediana em 36, bigodes de 35 a 37.

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