Uma onda eletromagnética possui um campo magnético dado por \vec{B}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=-\left(8,25 \times 10^{-9} \mathrm{~T}\right) \hat{j} \cos \left[\left(1,38 \times 10^{4} \mathrm{rad} / \mathrm{m}\right) \mathrm{x}+\omega \mathrm{t}\right].
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando?
(b) Qual é a frequência f da onda?
(c) Escreva a equação vetorial para \vec{E}((\mathrm{x}, \mathrm{t}).
(d) Verifique se \vec{E} e \vec{B} satisfazem as equações de Maxwell

Passo 1

O enunciado fornece o campo magnético
\vec{B}(x,t) = -\bigl(8,25\times10^{-9}\\ \mathrm{T}\bigr)\,\hat{j}\,\cos\!\bigl[\bigl(1,38\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}\bigr)x + \omega t\bigr].
Perguntas:
(a) Em que direção e sentido a onda está se propagando?
(b) Qual é a frequência f da onda?
(c) Escreva a equação vetorial para \vec{E}(x,t).
(d) Verifique se \vec{E} e \vec{B} satisfazem as equações de Maxwell (no vácuo).
Informações extra que vou usar (valores que pego do enunciado):
  • amplitude do campo magnético: B_0 = 8,25\times10^{-9}\\ \mathrm{T} (o sinal negativo está explicitado na expressão dada);
  • número de onda (módulo): k = 1,38\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m} (aparece multiplicando x no cosseno);
  • a forma da fase no cosseno é \;kx+\omega t\; (note esse sinal +);
  • velocidade da luz no vácuo: vou usar c = 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s};
  • no vácuo vale \mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2.

Passo 2

Determinar a direção e o sentido de propagação (item a).
Explicação didática do método: para uma onda plana unidimensional a fase é uma função \varphi(x,t). Mantendo a fase constante ( \varphi= constante) obtém-se a posição da frente de fase; derivando \varphi em relação a t dá a velocidade de deslocamento da frente de onda. Se a fase for \varphi(x,t)=kx+\omega t, então
\mathrm{d}\varphi=0 \Rightarrow k\,\mathrm{d}x+\omega\,\mathrm{d}t=0 \Rightarrow \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\frac{\omega}{k}.
Aqui k>0 e \omega será tomado positivo (módulo da frequência angular), logo \mathrm{d}x/\mathrm{d}t é negativo. Conclusão: a frente de fase desloca-se no sentido negativo do eixo x. Portanto a onda está se propagando ao longo do eixo x no sentido negativo (ou seja, na direção -\hat{i}).
Observação física curta: a presença de +\omega t na fase (em vez de -\omega t) indica propagação no sentido negativo de x.

Passo 3

Encontrar a frequência (item b).
Teoria usada: para uma onda eletromagnética no vácuo as componentes satisfazem a relação de dispersão da onda livre
\omega = c\,k,
onde \omega é a frequência angular (rad/s), k é o número de onda (rad/m) e c é a velocidade da luz. A frequência usual f está relacionada por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Aplicando com os valores do enunciado:
\omega = c\,k = \bigl(3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\bigr)\bigl(1,38\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}\bigr) =4,14\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s}.
Agora
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{4,14\times10^{12}}{2\pi}\approx 6,59\times10^{11}\\ \mathrm{Hz}.
Breve interpretação: essa é uma frequência no infravermelho/ondas submilimétricas — só para contexto, não é necessário na prova.

Passo 4

Construir a equação vetorial para \vec{E}(x,t) (item c) — explicação conceitual antes de calcular.
Conceitos importantes e como usá-los (aula rápida e prática):
  • Em uma onda eletromagnética plana no vácuo, \vec{E}, \vec{B} e o vetor de propagação \vec{k} são mutuamente perpendiculares e seguem a regra da mão direita: \vec{E}\times\vec{B} aponta na direção de \vec{k} (sentido de propagação).
  • As amplitudes estão relacionadas por \;E_0 = c\,B_0\; (unidades consistentes: B_0 em tesla, E_0 em V/m).
  • \vec{E} e \vec{B} estão, para uma onda livre não dispersiva, em fase (o cosseno aparece com a mesma fase para ambos).
Aplicando ao nosso caso:
  • Do enunciado pegamos que \vec{B} está ao longo de -\hat{j} (porque \vec{B}=-(B_0)\hat{j}\cos(\cdots)). Ou seja, a direção do campo magnético é o eixo y, com sentido negativo.
  • Já vimos que a onda se propaga em -\hat{i} (eixo x sentido negativo).
  • Para que \vec{E}\times\vec{B} aponte em -\hat{i} (propagação), precisamos escolher \vec{E} ao longo de -\hat{k} (eixo z negativo). Verificação rápida da regra da mão direita: (-\,\hat{k})\times(-\,\hat{j}) = (\hat{k}\times\hat{j}) = -\hat{i} — correto.
Amplitude de \vec{E}:
E_0 = c\,B_0 = \bigl(3,00\times10^{8}\bigr)\bigl(8,25\times10^{-9}\bigr)=2,475\\ \mathrm{V/m}\approx 2,48\\ \mathrm{V/m}.
Portanto a expressão vetorial consistente (mantendo a mesma fase do cosseno dada para \vec{B}) é
\vec{E}(x,t) = -\bigl(2,48\\ \mathrm{V/m}\bigr)\,\hat{k}\,\cos\!\bigl[\bigl(1,38\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}\bigr)x+\omega t\bigr].
Observação sobre sinais e consistência: escolhemos \vec{k}=-k\hat{i} como vetor de onda (propagação para -\hat{i}); com essa escolha as equações de Maxwell e as relações vetoriais entre \vec{k},\vec{E}_0,\vec{B}_0 ficam consistentes (ver passo seguinte).

Passo 5

Verificar as equações de Maxwell no vácuo para esses campos (item d).
As equações relevantes no vácuo (sem cargas e correntes) são:
\nabla\cdot\vec{E}=0,\qquad \nabla\cdot\vec{B}=0,
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Cálculos passo a passo usando as formas finais dos campos (vou usar a fase \varphi(x,t)=\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t com \vec{k}=-k\hat{i} para clareza; isso é equivalente a ter \cos(kx+\omega t) porque o cosseno é função par):
  1. Divergências:
  • \vec{E} tem apenas componente E_z(x,t) dependente de x, logo
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=0+0+0=0,
porque E_z depende só de x (portanto \partial E_z/\partial z=0) e E_x=E_y=0.
  • Mesmo raciocínio para \vec{B} (apenas componente B_y(x,t) que depende só de x); logo \nabla\cdot\vec{B}=0.
  1. Lei de Faraday \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t:
Calcular \nabla\times\vec{E}. Com \vec{E}=E_z(x,t)\,\hat{k} e E_z=-E_0\cos(\varphi):
(\nabla\times\vec{E})_y = -\frac{\partial E_z}{\partial x}.
Como \varphi=\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t = -k x-\omega t, tem-se
\frac{\partial E_z}{\partial x} = -E_0\frac{\partial}{\partial x}\cos\varphi = -E_0(-k)\sin\varphi = E_0 k\sin\varphi,
portanto
(\nabla\times\vec{E})_y = -E_0 k\sin\varphi.
Agora -\partial\vec{B}/\partial t tem componente y:
-\frac{\partial B_y}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}\bigl[-B_0\cos\varphi\bigr] = -\bigl[-B_0(-\omega)\sin\varphi\bigr] = -B_0\omega\sin\varphi.
Comparando as componentes y:
- E_0 k\sin\varphi \overset{?}{=} - B_0 \omega \sin\varphi \quad\Rightarrow\quad E_0 k = B_0 \omega.
Como \omega = c k e E_0 = c B_0, a igualdade é satisfeita.
  1. Lei de Ampère-Maxwell \nabla\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\partial\vec{E}/\partial t:
Calcular (\nabla\times\vec{B})_z = -\dfrac{\partial B_y}{\partial x}. Usando B_y=-B_0\cos\varphi,
\frac{\partial B_y}{\partial x} = -B_0\frac{\partial}{\partial x}\cos\varphi = -B_0(-k)\sin\varphi = B_0 k\sin\varphi,
logo
(\nabla\times\vec{B})_z = -B_0 k\sin\varphi.
Agora o lado direito:
\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E_z}{\partial t} = \mu_0\varepsilon_0\bigl(-E_0(-\omega)\sin\varphi\bigr)=\mu_0\varepsilon_0 E_0\omega\sin\varphi.
Usando \mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2 e E_0 = c B_0, o lado direito torna-se
\frac{1}{c^2} E_0\omega\sin\varphi = \frac{1}{c^2}(cB_0)\omega\sin\varphi = B_0\frac{\omega}{c}\sin\varphi = B_0 k\sin\varphi,
pois \omega/c = k. Portanto
(\nabla\times\vec{B})_z = -B_0 k\sin\varphi = -\bigl(B_0 k\sin\varphi\bigr) = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E_z}{\partial t}
com os sinais consistentes (note que os sinais batem porque a dependência de \varphi foi escrita com \vec{k}=-k\hat{i}). Assim a igualdade é satisfeita.
Conclusão do passo: todas as quatro equações de Maxwell no vácuo são satisfeitas por estas \vec{E} e \vec{B} quando se usa \omega = c k e E_0 = c B_0.

Resposta

(a) A onda propaga-se ao longo do eixo x no sentido negativo: direção -\hat{i}.
(b) f=\dfrac{\omega}{2\pi}\approx 6,59\times10^{11}\\ \mathrm{Hz}.
(c) \displaystyle \vec{E}(x,t)=-\bigl(2,48\\ \mathrm{V/m}\bigr)\,\hat{k}\,\cos\!\bigl[\bigl(1,38\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}\bigr)x+\omega t\bigr].
(d) Sim. \vec{E} e \vec{B} satisfazem as equações de Maxwell no vácuo (com \omega=ck e E_0=cB_0).

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