Uma onda eletromagnética possui um campo magnético dado por
.
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando?
(b) Qual é a frequência f da onda?
(c) Escreva a equação vetorial para
.
(d) Verifique se
e
satisfazem as equações de Maxwell
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando?
(b) Qual é a frequência f da onda?
(c) Escreva a equação vetorial para
(d) Verifique se
Passo 1
O enunciado fornece o campo magnético
Perguntas:
(a) Em que direção e sentido a onda está se propagando?
(b) Qual é a frequência da onda?
(c) Escreva a equação vetorial para .
(d) Verifique se e
satisfazem as equações de Maxwell (no vácuo).
(a) Em que direção e sentido a onda está se propagando?
(b) Qual é a frequência
(c) Escreva a equação vetorial para
(d) Verifique se
Informações extra que vou usar (valores que pego do enunciado):
- amplitude do campo magnético:
(o sinal negativo está explicitado na expressão dada); - número de onda (módulo):
(aparece multiplicando no cosseno); - a forma da fase no cosseno é
(note esse sinal ); - velocidade da luz no vácuo: vou usar
; - no vácuo vale
.
Passo 2
Determinar a direção e o sentido de propagação (item a).
Explicação didática do método: para uma onda plana unidimensional a fase é uma função
. Mantendo a fase constante (
constante) obtém-se a posição da frente de fase; derivando
em relação a
dá a velocidade de deslocamento da frente de onda. Se a fase for
, então
Aqui
e
será tomado positivo (módulo da frequência angular), logo
é negativo. Conclusão: a frente de fase desloca-se no sentido negativo do eixo
. Portanto a onda está se propagando ao longo do eixo
no sentido negativo (ou seja, na direção
).
Observação física curta: a presença de
na fase (em vez de
) indica propagação no sentido negativo de
.
Passo 3
Encontrar a frequência (item b).
Teoria usada: para uma onda eletromagnética no vácuo as componentes satisfazem a relação de dispersão da onda livre
onde
é a frequência angular (rad/s),
é o número de onda (rad/m) e
é a velocidade da luz. A frequência usual
está relacionada por
Aplicando com os valores do enunciado:
Agora
Breve interpretação: essa é uma frequência no infravermelho/ondas submilimétricas — só para contexto, não é necessário na prova.
Passo 4
Construir a equação vetorial para
(item c) — explicação conceitual antes de calcular.
Conceitos importantes e como usá-los (aula rápida e prática):
- Em uma onda eletromagnética plana no vácuo,
, e o vetor de propagação são mutuamente perpendiculares e seguem a regra da mão direita: aponta na direção de (sentido de propagação). - As amplitudes estão relacionadas por
(unidades consistentes: em tesla, em V/m). -
e estão, para uma onda livre não dispersiva, em fase (o cosseno aparece com a mesma fase para ambos).
Aplicando ao nosso caso:
- Do enunciado pegamos que
está ao longo de (porque ). Ou seja, a direção do campo magnético é o eixo , com sentido negativo. - Já vimos que a onda se propaga em
(eixo sentido negativo). - Para que
aponte em (propagação), precisamos escolher ao longo de (eixo negativo). Verificação rápida da regra da mão direita: — correto.
Amplitude de
:
Portanto a expressão vetorial consistente (mantendo a mesma fase do cosseno dada para
) é
Observação sobre sinais e consistência: escolhemos
como vetor de onda (propagação para
); com essa escolha as equações de Maxwell e as relações vetoriais entre
ficam consistentes (ver passo seguinte).
Passo 5
Verificar as equações de Maxwell no vácuo para esses campos (item d).
As equações relevantes no vácuo (sem cargas e correntes) são:
Cálculos passo a passo usando as formas finais dos campos (vou usar a fase
com
para clareza; isso é equivalente a ter
porque o cosseno é função par):
- Divergências:
-
tem apenas componente dependente de , logo
porque
depende só de
(portanto
) e
.
- Mesmo raciocínio para
(apenas componente que depende só de ); logo .
- Lei de Faraday
:
Calcular
. Com
e
:
Como
, tem-se
portanto
Agora
tem componente
:
Comparando as componentes
:
Como
e
, a igualdade é satisfeita.
- Lei de Ampère-Maxwell
:
Calcular
. Usando
,
logo
Agora o lado direito:
Usando
e
, o lado direito torna-se
pois
. Portanto
com os sinais consistentes (note que os sinais batem porque a dependência de
foi escrita com
). Assim a igualdade é satisfeita.
Conclusão do passo: todas as quatro equações de Maxwell no vácuo são satisfeitas por estas
e
quando se usa
e
.
Resposta
(a) A onda propaga-se ao longo do eixo
no sentido negativo: direção
.
(b)
(c)
(d) Sim. e
satisfazem as equações de Maxwell no vácuo (com
e
).
(b)
(c)
(d) Sim.