Considere uma onda eletromagnética plana se propagando no vácuo, no sentido positivo de um dos eixos do sistema cartesiano xyz utilizado para descrever sua propagação. A frequência da onda é 500 GHz , sua intensidade é 1,5 MW / m² e seu campo elétrico oscila na mesma direçăo do vetor ( 8î+6ĵ ). Dados: c=3.10⁸ m / s ; μ₀=4π.10⁻⁷ H / m
Apresente as funçōes (calcule todas as constantes e utilize a função cosseno) que descrevem a evoluçāo espacial e temporal dos vetores campo elétrico, campo magnético e de Poynting.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva as funções (com a cosseno) que descrevem a evolução espacial e temporal dos vetores: campo elétrico, campo magnético e vetor de Poynting, para uma onda eletromagnética plana no vácuo. Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo que veio do enunciado):
  • frequência: f=500\\ \text{GHz}=5{,}0\times10^{11}\\ \text{Hz}.
  • intensidade (valor médio do vetor de Poynting): I_{\text{avg}}=1{,}5\\ \text{MW/m}^2=1{,}5\times10^{6}\\ \text{W/m}^2.
  • o campo elétrico oscila na direção do vetor (8\hat{\mathbf{i}}+6\hat{\mathbf{j}}) (ou seja, a polarização está nesse plano xy).
  • a onda propaga-se no sentido positivo de um dos eixos do sistema cartesiano xyz. Vou assumir, por convenção usual e sem perda de generalidade, que a direção de propagação é +\hat{\mathbf{k}} (eixo z).
  • constantes fornecidas: c=3{,}0\times10^{8}\\ \text{m/s} e \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}.
  • o enunciado quer que eu apresente as funções usando a função cosseno e que eu calcule todas as constantes numéricas.
As perguntas concretas que vou responder (uma para cada campo):
  • Qual é a expressão \mathbf{E}(\mathbf{r},t) (usando cosseno) com as constantes numéricas?
  • Qual é a expressão \mathbf{B}(\mathbf{r},t) (usando cosseno) com as constantes numéricas?
  • Qual é a expressão \mathbf{S}(\mathbf{r},t) (usando cosseno) com as constantes numéricas (e mostrar também o valor médio, que deve coincidir com a intensidade dada)?

Passo 2

Formas gerais e definições úteis (aulas rápidas):
  • Para uma onda plana no vácuo propagando-se em +\hat{\mathbf{k}} (eixo z), as formas harmônicas (usando cosseno) são, em geral,
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=E_0\,\hat{\mathbf{u}}_E\cos\!\big(kz-\omega t+\varphi\big),
\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=B_0\,\hat{\mathbf{u}}_B\cos\!\big(kz-\omega t+\varphi\big),
onde:
  • \omega é a frequência angular: \omega=2\pi f.
  • k é o número de onda: k=\dfrac{\omega}{c}=\dfrac{2\pi f}{c}.
  • E_0 e B_0 são as amplitudes máximas dos módulos dos campos.
  • \hat{\mathbf{u}}_E é o versor da polarização elétrica (direção do campo elétrico).
  • \hat{\mathbf{u}}_B é o versor do campo magnético, que, para onda no vácuo, satisfaz \hat{\mathbf{u}}_B=\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{u}}_E.
  • escolho fase inicial \varphi=0 (o enunciado não dá fase, então fica natural tomar zero).
  • Relação entre E_0 e B_0 no vácuo:
B_0=\frac{E_0}{c}.
  • Relação entre intensidade média e amplitude do campo elétrico (derivação rápida): o vetor de Poynting instantâneo é \mathbf{S}=\dfrac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}. Para campos harmônicos em fase, o valor médio no tempo é
\langle S\rangle=\frac{E_0^2}{2\mu_0 c}.
Dessa relação isolamos E_0:
E_0=\sqrt{2\mu_0 c\,\langle S\rangle}.

Passo 3

Calcular \omega, k e \lambda (passo a passo):
  • \displaystyle \omega=2\pi f=2\pi\cdot 5{,}0\times10^{11}=\pi\times10^{12}\\ \text{rad/s}. Em forma numérica:
\omega=3{,}141592653\ldots\times10^{12}\\ \text{rad/s}\approx 3{,}142\times10^{12}\\ \text{rad/s}.
  • \displaystyle k=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi f}{c}=\frac{\pi\times10^{12}}{3{,}0\times10^{8}}\\ \text{rad/m}. Numericamente:
k\approx 1{,}047197551\times10^{4}\\ \text{rad/m}\approx 1{,}0472\times10^{4}\\ \text{rad/m}.
  • comprimento de onda:
\lambda=\frac{c}{f}=\frac{3{,}0\times10^{8}}{5{,}0\times10^{11}}=6{,}0\times10^{-4}\\ \text{m}=0{,}6\\ \text{mm}.

Passo 4

Determinar o versor de polarização \hat{\mathbf{u}}_E: vetor dado é (8,6,0).
  • norma: \sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.
  • portanto o versor é
\hat{\mathbf{u}}_E=\frac{1}{10}\big(8\hat{\mathbf{i}}+6\hat{\mathbf{j}}\big)=0{,}8\hat{\mathbf{i}}+0{,}6\hat{\mathbf{j}}.

Passo 5

Calcular E_0 a partir da intensidade média dada I_{\text{avg}}=1{,}5\times10^{6}\\ \text{W/m}^2.
Usando a fórmula
E_0=\sqrt{2\mu_0 c\,I_{\text{avg}}}
vou calcular \mu_0 c primeiro com os valores fornecidos:
\mu_0 c=(4\pi\times10^{-7})\cdot(3{,}0\times10^{8})=120\pi\approx 376{,}9911184\\ \Omega.
Agora
E_0=\sqrt{2\cdot(376{,}9911184)\cdot(1{,}5\times10^{6})} =\sqrt{1{,}130973355\times10^{9}}\\ \text{V/m}.
Cálculo numérico final:
E_0\approx 3{,}3641\times10^{4}\\ \text{V/m}.
Em seguida
B_0=\frac{E_0}{c}\approx\frac{3{,}3641\times10^{4}}{3{,}0\times10^{8}}\\ \text{T}\approx 1{,}1214\times10^{-4}\\ \text{T}.

Passo 6

Determinar a direção do campo magnético \hat{\mathbf{u}}_B. Usamos a regra:
\hat{\mathbf{u}}_B=\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{u}}_E.
Com \hat{\mathbf{k}}=(0,0,1) e \hat{\mathbf{u}}_E=(0{,}8,0{,}6,0),
\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{u}}_E = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0{,}8 & 0{,}6 & 0 \end{vmatrix} = (-0{,}6)\,\hat{\mathbf{i}} + (0{,}8)\,\hat{\mathbf{j}} + 0\;\hat{\mathbf{k}}.
Logo
\hat{\mathbf{u}}_B = -0{,}6\hat{\mathbf{i}} + 0{,}8\hat{\mathbf{j}}.
(Observe que \hat{\mathbf{u}}_E e \hat{\mathbf{u}}_B são ortogonais e que \hat{\mathbf{u}}_E\times\hat{\mathbf{u}}_B=\hat{\mathbf{k}}.)

Passo 7

Escrever as expressões finais dos campos (com cosseno), colocando todas as constantes numéricas.
  • Campo elétrico:
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=E_0\big(0{,}8\hat{\mathbf{i}}+0{,}6\hat{\mathbf{j}}\big)\cos\!\big(kz-\omega t\big),
com os valores numéricos calculados:
E_0\approx 3{,}3641\times10^{4}\\ \text{V/m},\quad k\approx 1{,}04719755\times10^{4}\\ \text{rad/m},\quad \omega\approx 3{,}14159265\times10^{12}\\ \text{rad/s}.
  • Campo magnético:
\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=B_0\big(-0{,}6\hat{\mathbf{i}}+0{,}8\hat{\mathbf{j}}\big)\cos\!\big(kz-\omega t\big),
com
B_0=\frac{E_0}{c}\approx 1{,}1214\times10^{-4}\\ \text{T}.

Passo 8

Escrever o vetor de Poynting (instantâneo) e seu valor médio:
  • Instanteâneo:
\mathbf{S}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}(\mathbf{r},t)\times\mathbf{B}(\mathbf{r},t).
Para esta onda, usando as direções obtidas e que \mathbf{E} e \mathbf{B} têm a mesma fase, o cálculo direto dá
\mathbf{S}(\mathbf{r},t)=\frac{E_0^2}{\mu_0 c}\,\hat{\mathbf{k}}\,\cos^2\!\big(kz-\omega t\big).
  • Valor médio no tempo (média de \cos^2 vale 1/2):
\langle \mathbf{S}\rangle=\frac{E_0^2}{2\mu_0 c}\,\hat{\mathbf{k}}=\;I_{\text{avg}}\\ \hat{\mathbf{k}},
que deve coincidir com o valor 1{,}5\times10^{6}\\ \text{W/m}^2 que foi dado (e de fato coincide pelos nossos cálculos de E_0).

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\big(3{,}3641\times10^{4}\,\text{V/m}\big)\big(0{,}8\hat{\mathbf{i}}+0{,}6\hat{\mathbf{j}}\big)\cos\!\big(1{,}04719755\times10^{4}\,z-3{,}14159265\times10^{12}\,t\big)
\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\big(1{,}1214\times10^{-4}\,\text{T}\big)\big(-0{,}6\hat{\mathbf{i}}+0{,}8\hat{\mathbf{j}}\big)\cos\!\big(1{,}04719755\times10^{4}\,z-3{,}14159265\times10^{12}\,t\big)
\displaystyle \mathbf{S}(\mathbf{r},t)=\frac{(3{,}3641\times10^{4})^{2}}{\mu_0 c}\,\hat{\mathbf{k}}\,\cos^{2}\!\big(1{,}04719755\times10^{4}\,z-3{,}14159265\times10^{12}\,t\big)\approx\big(3{,}0\times10^{6}\,\cos^{2}(\cdots)\big)\hat{\mathbf{k}}, onde a média temporal é \langle\mathbf{S}\rangle=1{,}5\times10^{6}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \text{W/m}^2.

Exercícios relacionados