Considere uma onda eletromagnética plana se propagando no vácuo, no sentido positivo de um dos eixos do sistema cartesiano xyz utilizado para descrever sua propagação. A frequência da onda é 500 GHz , sua intensidade é 1,5 MW / m² e seu campo elétrico oscila na mesma direçăo do vetor ( 8î+6ĵ ). Dados: c=3.10⁸ m / s ; μ₀=4π.10⁻⁷ H / m
Apresente as funçōes (calcule todas as constantes e utilize a função cosseno) que descrevem a evoluçāo espacial e temporal dos vetores campo elétrico, campo magnético e de Poynting.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva as funções (com a cosseno) que descrevem a evolução espacial e temporal dos vetores: campo elétrico, campo magnético e vetor de Poynting, para uma onda eletromagnética plana no vácuo. Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo que veio do enunciado):
intensidade (valor médio do vetor de Poynting): I_{\text{avg}}=1{,}5\\ \text{MW/m}^2=1{,}5\times10^{6}\\ \text{W/m}^2.
o campo elétrico oscila na direção do vetor (8\hat{\mathbf{i}}+6\hat{\mathbf{j}}) (ou seja, a polarização está nesse plano xy).
a onda propaga-se no sentido positivo de um dos eixos do sistema cartesiano xyz. Vou assumir, por convenção usual e sem perda de generalidade, que a direção de propagação é +\hat{\mathbf{k}} (eixo z).
constantes fornecidas: c=3{,}0\times10^{8}\\ \text{m/s} e \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}.
o enunciado quer que eu apresente as funções usando a função cosseno e que eu calcule todas as constantes numéricas.
As perguntas concretas que vou responder (uma para cada campo):
Qual é a expressão \mathbf{E}(\mathbf{r},t) (usando cosseno) com as constantes numéricas?
Qual é a expressão \mathbf{B}(\mathbf{r},t) (usando cosseno) com as constantes numéricas?
Qual é a expressão \mathbf{S}(\mathbf{r},t) (usando cosseno) com as constantes numéricas (e mostrar também o valor médio, que deve coincidir com a intensidade dada)?
Passo 2
Formas gerais e definições úteis (aulas rápidas):
Para uma onda plana no vácuo propagando-se em +\hat{\mathbf{k}} (eixo z), as formas harmônicas (usando cosseno) são, em geral,
k é o número de onda: k=\dfrac{\omega}{c}=\dfrac{2\pi f}{c}.
E_0 e B_0 são as amplitudes máximas dos módulos dos campos.
\hat{\mathbf{u}}_E é o versor da polarização elétrica (direção do campo elétrico).
\hat{\mathbf{u}}_B é o versor do campo magnético, que, para onda no vácuo, satisfaz \hat{\mathbf{u}}_B=\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{u}}_E.
escolho fase inicial \varphi=0 (o enunciado não dá fase, então fica natural tomar zero).
Relação entre E_0 e B_0 no vácuo:
B_0=\frac{E_0}{c}.
Relação entre intensidade média e amplitude do campo elétrico (derivação rápida): o vetor de Poynting instantâneo é \mathbf{S}=\dfrac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}. Para campos harmônicos em fase, o valor médio no tempo é
\langle S\rangle=\frac{E_0^2}{2\mu_0 c}.
Dessa relação isolamos E_0:
E_0=\sqrt{2\mu_0 c\,\langle S\rangle}.
Passo 3
Calcular \omega, k e \lambda (passo a passo):
\displaystyle \omega=2\pi f=2\pi\cdot 5{,}0\times10^{11}=\pi\times10^{12}\\ \text{rad/s}. Em forma numérica:
\displaystyle \mathbf{S}(\mathbf{r},t)=\frac{(3{,}3641\times10^{4})^{2}}{\mu_0 c}\,\hat{\mathbf{k}}\,\cos^{2}\!\big(1{,}04719755\times10^{4}\,z-3{,}14159265\times10^{12}\,t\big)\approx\big(3{,}0\times10^{6}\,\cos^{2}(\cdots)\big)\hat{\mathbf{k}}, onde a média temporal é \langle\mathbf{S}\rangle=1{,}5\times10^{6}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \text{W/m}^2.