Considere uma onda eletromagnética se propagando no vácuo, cuja componente elétrica seja descrita por:
E(x, y, z, t)=E0 imath cos omega(raizmu0 varepsilon0 z-t)+E0 jmath sen omega(raizmu0 varepsilon0 z-t)
onde E0 é uma constante e i, j são os versores de base do sistema de coordenadas cartesianas.
Calcule a componente magnética desta onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma onda eletromagnética se movendo no vácuo, e a componente elétrica dessa onda está descrita por uma equação com as direções $ \hat{\imath} $ e $ \hat{\jmath} $. Nosso objetivo é encontrar a componente magnética dessa onda. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Eletromagnetismo, mais especificamente das equações de Maxwell que relacionam os campos elétrico e magnético em ondas eletromagnéticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da componente elétrica que você forneceu:
E(x, y, z, t) = E0 imath cos omega(raizmu0 varepsilon0 z - t) + E0 jmath sin omega(raizmu0 varepsilon0 z - t)
Aqui, $ E_{0} $ é a amplitude da onda, $ \omega $ é a frequência angular, $ \mu_{0} $ é a permeabilidade do vácuo, e $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo. As direções $ \hat{\imath} $ e $ \hat{\jmath} $ indicam que a componente elétrica tem partes nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Sabemos que em uma onda eletromagnética no vácuo, os campos elétrico $ \vec{E} $ e magnético $ \vec{B} $ são perpendiculares entre si e à direção de propagação da onda. Além disso, a relação entre eles é dada por:
E
Onde:
  • $ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}} $ é a velocidade da luz no vácuo.
  • $ \hat{k} $ é o vetor unitário na direção de propagação da onda.

Passo 4

Observando a equação da componente elétrica, percebemos que a onda está se propagando na direção z, já que a variável espacial é $ z $. Portanto, $ \hat{k} = \hat{k}_z $.
Vamos calcular o produto vetorial $ \hat{k} \times \vec{E} $:
z
Utilizando as propriedades do produto vetorial:
  • $ \hat{k} \times \hat{\imath} = \hat{\jmath} $
  • $ \hat{k} \times \hat{\jmath} = -\hat{\imath} $
Então:
k = kz

Passo 5

Agora, vamos substituir esse resultado na equação para $ \vec{B} $:
B
Lembrando que $ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}} $, então:
B = 1c ( E0 jmath cos(omega(raizmu0 varepsilon0 z - t)) - E0 imath sin(omega(raizmu0 varepsilon0 z - t)) )
Substituindo:
c = 1raizmu0 varepsilon0

Resposta

A componente magnética da onda é dada por:
B(x, y, z, t) = E0 raizmu0 varepsilon0 ( jmath cos omega(raizmu0 varepsilon0 z - t) - imath sin omega(raizmu0 varepsilon0 z - t) )

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