Considere uma onda eletromagnética se propagando no vácuo, cuja componente magnética seja descrita por:
B(x, y, z, t)=(B0 x imath+B0 y jmath) cos (k z) cos (omega t)
onde B0X e B0Y são constantes e i, j são os versores de base do sistema de coordenadas cartesianas.
Calcule a potência média por unidade de área da onda eletromagnética. Para efeitos de cálculo da potência média considere uma frente de onda localizada em z0; ou seja, no plano ( x, y, z=z0 ). Justifique detalhadamente as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de ondas eletromagnéticas no vácuo! A gente tem dado a componente magnética da onda:
B(x, y, z, t) = (B0x imath + B0y jmath) cos(k z) cos(omega t)
Nosso objetivo aqui é calcular a potência média por unidade de área dessa onda eletromagnética. Para isso, vamos usar os conceitos de campos elétrico e magnético em ondas eletromagnéticas e o vetor de Poynting, que nos ajuda a determinar a potência transportada pela onda.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico E correspondente a essa onda magnética B. Sabemos que em uma onda eletromagnética no vácuo, os campos E e B são perpendiculares entre si e à direção de propagação da onda.
Além disso, a relação entre eles é dada por:
E = c , B times n
onde c é a velocidade da luz no vácuo e n é o vetor unitário na direção de propagação da onda. Como a onda está se propagando ao longo do eixo z, temos n = k.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial B times n. Sabendo que B tem componentes nos eixos x e y, temos:
B times k = (B0x imath + B0y jmath) times k
Calculando os produtos vetoriais:
imath times k = -jmath
jmath times k = imath
Então,
B times k = -B0x jmath + B0y imath

Passo 4

Agora, substituímos isso na expressão para E:
E = c (-B0x jmath + B0y imath) cos(k z) cos(omega t)
Podemos reescrever isso como:
E(x, y, z, t) = (c B0y imath - c B0x jmath) cos(k z) cos(omega t)

Passo 5

Agora que temos ambos os campos, E e B, podemos calcular o vetor de Poynting S, que representa a potência por unidade de área transportada pela onda eletromagnética. A fórmula é:
S = 1mu0 E times B
onde mu0 é a permeabilidade do vácuo.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial E times B. Usando as expressões para E e B que encontramos:
E = (c B0y imath - c B0x jmath) cos(k z) cos(omega t)
B = (B0x imath + B0y jmath) cos(k z) cos(omega t)
Calculando o produto vetorial:
E times B = (c B0y imath - c B0x jmath) times (B0x imath + B0y jmath) cos^2(k z) cos^2(omega t)
Expandindo o produto vetorial:
E times B = c B0y B0x (imath times imath) + c B0y B0y (imath times jmath) - c B0x B0x (jmath times imath) - c B0x B0y (jmath times jmath))
Sabendo que:
imath times imath = jmath times jmath = 0
imath times jmath = k
jmath times imath = -k
Então,
E times B = c B0y B0y k + c B0x B0x k = c (B0x^2 + B0y^2) k

Passo 7

Substituindo de volta no vetor de Poynting:
S = 1mu0 E times B = 1mu0 c (B0x^2 + B0y^2) k cos^2(k z) cos^2(omega t)

Passo 8

Para achar a potência média, vamos considerar a média temporal de cos^2(omega t), que é 12. Assim, a potência média lang<= S rang<= será:
lang<= S rang<= = 1mu0 c (B0x^2 + B0y^2) 12 cos^2(k z)
No plano z = z0, cos^2(k z0) é constante, então podemos simplificar:
lang<= S rang<= = c2 mu0 (B0x^2 + B0y^2)

Resposta

A potência média por unidade de área da onda eletromagnética é:
lang<= S rang<= = c2 mu0 (B0x^2 + B0y^2)

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