Considere uma onda eletromagnética se propagando no vácuo, cuja componente magnética seja descrita por:
onde
e
são constantes e
são os versores de base do sistema de coordenadas cartesianas.
Calcule a potência média por unidade de área da onda eletromagnética. Para efeitos de cálculo da potência média considere uma frente de onda localizada em
; ou seja, no plano (
,
). Justifique detalhadamente as suas respostas.
Calcule a potência média por unidade de área da onda eletromagnética. Para efeitos de cálculo da potência média considere uma frente de onda localizada em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de ondas eletromagnéticas no vácuo! A gente tem dado a componente magnética da onda:
Nosso objetivo aqui é calcular a potência média por unidade de área dessa onda eletromagnética. Para isso, vamos usar os conceitos de campos elétrico e magnético em ondas eletromagnéticas e o vetor de Poynting, que nos ajuda a determinar a potência transportada pela onda.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico
correspondente a essa onda magnética
. Sabemos que em uma onda eletromagnética no vácuo, os campos
e
são perpendiculares entre si e à direção de propagação da onda.
Além disso, a relação entre eles é dada por:
onde
é a velocidade da luz no vácuo e
é o vetor unitário na direção de propagação da onda. Como a onda está se propagando ao longo do eixo
, temos
.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. Sabendo que
tem componentes nos eixos
e
, temos:
Calculando os produtos vetoriais:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos isso na expressão para
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Agora que temos ambos os campos,
e
, podemos calcular o vetor de Poynting
, que representa a potência por unidade de área transportada pela onda eletromagnética. A fórmula é:
onde
é a permeabilidade do vácuo.
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial
. Usando as expressões para
e
que encontramos:
Calculando o produto vetorial:
Expandindo o produto vetorial:
Sabendo que:
Então,
Passo 7
Substituindo de volta no vetor de Poynting:
Passo 8
Para achar a potência média, vamos considerar a média temporal de
, que é
. Assim, a potência média
será:
No plano
,
é constante, então podemos simplificar:
Resposta
A potência média por unidade de área da onda eletromagnética é: