Considere uma onda eletromagnética se propagando no vácuo, cuja componente magnética seja descrita por:
B(x, y, z, t)=(B0 x imath+B0 y jmath) cos (k z) cos (omega t)
onde B0 X e B0 Y são constantes e i, j são os versores de base do sistema de coordenadas cartesianas.
Calcule a componente elétrica desta onda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas eletromagnéticas no vácuo. A gente tem a componente magnética da onda descrita por uma expressão em termos das componentes $ B_{0x} $ e $ B_{0y} $. Nosso objetivo aqui é encontrar a componente elétrica $ \vec{E} $ dessa onda. Para isso, vamos usar conceitos de Eletromagnetismo, especificamente as relações entre os campos elétrico e magnético em ondas eletromagnéticas no vácuo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, os campos elétrico $ \vec{E} $ e magnético $ \vec{B} $ são perpendiculares entre si e também à direção de propagação da onda. Além disso, a velocidade da luz $ c $ relaciona esses dois campos.

Passo 3

A relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda plana no vácuo é dada por:
E = c , k times B
Aqui, $ \hat{k} $ é o vetor unitário na direção de propagação da onda. No nosso caso, a onda está se propagando na direção $ z $, então $ \hat{k} = \hat{k}_z $.

Passo 4

Vamos identificar o vetor $ \vec{B} $ fornecido:
B
Aqui, $ \vec{B} $ tem componentes nas direções $ x $ e $ y $, e está oscilando na direção $ z $ com onda de número $ k $ e frequência angular $ \omega $.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \hat{k} \times \vec{B} $. Sabendo que $ \hat{k} $ está na direção $ z $, temos:
k times B
Usando as regras dos produtos vetoriais:
k
Então:
z

Passo 6

Agora, aplicamos a relação para encontrar $ \vec{E} $:
E
Simplificando, podemos escrever:
E = c (B0x jmath - B0y imath) cos(k z) cos(omega t)

Resposta

A componente elétrica da onda é
E(x, y, z, t) = (-c B0y imath + c B0x jmath) cos(k z) cos(omega t)

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