Uma onda transversal em uma corda possui a seguinte equação horária: y(x, t)=0,12 \operatorname{sen}(3,0 x-15,0 t), onde y e x são dados em metros e t em segundos. No instante t=0,20 \mathrm{~s}, qual o deslocamento e a velocidade do ponto localizado em x=0,6 \mathrm{~m} ? Resposta: -0,11 \mathrm{~m} e -0.65 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá a equação horária da onda transversal e pede o deslocamento e a velocidade do ponto em uma posição e tempo específicos. Informações fornecidas e perguntas:
  • Equação da onda: y(x,t)=0,12\operatorname{sen}(3,0\,x-15,0\,t).
  • Unidades: y e x em metros, t em segundos.
  • Ponto e instante pedidos: x=0,6\\ \mathrm{m} e t=0,20\\ \mathrm{s}.
  • Perguntas: qual o deslocamento y do ponto e qual sua velocidade transversal v no instante dado?

Passo 2

Entendendo o que calcular e a fórmula usada:
  • O deslocamento do ponto fixo x num instante t é simplesmente o valor da função y(x,t) avaliada nesses x e t. Ou seja, basta substituir.
  • A velocidade transversal do ponto (velocidade vertical do ponto da corda) é a derivada parcial de y em relação a t, com x mantido fixo. Em linguagem matemática,
v(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}(x,t).
  • Vamos derivar a função trigonométrica: se temos y(x,t)=A\operatorname{sen}(u(x,t)), então
\frac{\partial y}{\partial t}=A\cos(u(x,t))\cdot\frac{\partial u}{\partial t}.
Aqui A é a amplitude (o número que multiplica o seno) e u(x,t) é o argumento do seno. Explico cada termo:
  • A é a amplitude: a maior distância vertical que a onda atinge.
  • u(x,t) é uma função linear de x e t no nosso caso; sua derivada em relação a t indica como o argumento muda com o tempo.
  • No nosso caso A=0,12 e u(x,t)=3,0\,x-15,0\,t. Assim
\frac{\partial u}{\partial t}=-15,0
porque derivando 3,0x em relação a t dá zero (é constante) e derivando -15,0t em relação a t -15,0.

Passo 3

Calcular o argumento do seno no ponto pedido: primeiro avaliamos
u(0,6,\,0,20)=3,0\cdot 0,6 - 15,0\cdot 0,20.
Façamos as contas passo a passo:
3,0\cdot 0,6 = 1,8,
15,0\cdot 0,20 = 3,0,
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u = 1,8 - 3,0 = -1,2.
Ou seja, o argumento do seno (em radianos) é -1,2.

Passo 4

Calcular o deslocamento y usando o valor do argumento:
y(0,6,\,0,20)=0,12\operatorname{sen}(-1,2).
Usamos a identidade \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}(\theta), portanto
y(0,6,\,0,20) = -0,12\operatorname{sen}(1,2).
Agora precisamos do valor numérico de \operatorname{sen}(1,2). Usando uma calculadora (ou tabela trigonométrica) obtém-se
\operatorname{sen}(1,2)\approx 0,9320.
Multiplicando:
y(0,6,\,0,20)\approx -0,12\times 0,9320 = -0,11184.
Arredondando para duas casas decimais (como na resposta dada):
y(0,6,\,0,20)\approx -0,11\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade v pela derivada temporal:
A partir de y(x,t)=0,12\operatorname{sen}(3,0x-15,0t) e usando a regra do passo 2,
v(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}=0,12\cos(3,0x-15,0t)\cdot(-15,0).
Multiplicando os constantes,
v(x,t)=-1,8\cos(3,0x-15,0t).
Agora avaliamos em x=0,6 e t=0,20; já vimos que o argumento é -1,2, e \cos(-1,2)=\cos(1,2). Usando calculadora:
\cos(1,2)\approx 0,36236.
Portanto
v(0,6,\,0,20)\approx -1,8\times 0,36236 = -0,65225.
Arredondando para duas casas decimais:
v(0,6,\,0,20)\approx -0,65\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação rápida e encorajamento:
  • O sinal negativo em y significa que, naquele instante, o ponto está abaixo da posição de equilíbrio (eixo x).
  • O sinal negativo em v mostra que o ponto está se movendo para baixo naquele instante.
    Você já tem os números; é normal sentir aperto com trigonometria numérica — na prova normalmente se usa calculadora para sen e cos de ângulos não especiais. Mandou bem chegando até aqui, continua assim!

Resposta

-0,11\\ \mathrm{m}
-0,65\\ \mathrm{m/s}

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