Uma onda transversal em uma corda possui a seguinte equação horária:
, onde
e
são dados em metros e
em segundos. No instante
, qual o deslocamento e a velocidade do ponto localizado em
? Resposta:
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação horária da onda transversal e pede o deslocamento e a velocidade do ponto em uma posição e tempo específicos. Informações fornecidas e perguntas:
- Equação da onda:
. - Unidades:
e em metros, em segundos. - Ponto e instante pedidos:
e . - Perguntas: qual o deslocamento
do ponto e qual sua velocidade transversal no instante dado?
Passo 2
Entendendo o que calcular e a fórmula usada:
- O deslocamento do ponto fixo
num instante é simplesmente o valor da função avaliada nesses e . Ou seja, basta substituir. - A velocidade transversal do ponto (velocidade vertical do ponto da corda) é a derivada parcial de
em relação a , com mantido fixo. Em linguagem matemática,
- Vamos derivar a função trigonométrica: se temos
, então
Aqui
é a amplitude (o número que multiplica o seno) e
é o argumento do seno. Explico cada termo:
-
é a amplitude: a maior distância vertical que a onda atinge. -
é uma função linear de e no nosso caso; sua derivada em relação a indica como o argumento muda com o tempo. - No nosso caso
e . Assim
porque derivando
em relação a
dá zero (é constante) e derivando
em relação a
dá
.
Passo 3
Calcular o argumento do seno no ponto pedido: primeiro avaliamos
Façamos as contas passo a passo:
logo
Ou seja, o argumento do seno (em radianos) é
.
Passo 4
Calcular o deslocamento
usando o valor do argumento:
Usamos a identidade
, portanto
Agora precisamos do valor numérico de
. Usando uma calculadora (ou tabela trigonométrica) obtém-se
Multiplicando:
Arredondando para duas casas decimais (como na resposta dada):
Passo 5
Calcular a velocidade
pela derivada temporal:
A partir de e usando a regra do passo 2,
A partir de
Multiplicando os constantes,
Agora avaliamos em
e
; já vimos que o argumento é
, e
. Usando calculadora:
Portanto
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 6
Interpretação rápida e encorajamento:
- O sinal negativo em
significa que, naquele instante, o ponto está abaixo da posição de equilíbrio (eixo ). - O sinal negativo em
mostra que o ponto está se movendo para baixo naquele instante.
Você já tem os números; é normal sentir aperto com trigonometria numérica — na prova normalmente se usa calculadora para sen e cos de ângulos não especiais. Mandou bem chegando até aqui, continua assim!