Mostre que a onda xi=xi0 sen(k cdot r-omega t) é uma solução da equação de onda em trés dimensões.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a onda xi = xi0 sin(k cdot r - omega t) satisfaz a equação de onda em três dimensões. Isso está ligado ao estudo das ondas em física, mais especificamente às ondas que se propagam no espaço. Para resolver isso, vamos precisar mexer com derivadas parciais (tanto no tempo quanto no espaço) e entender como a equação de onda funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda em três dimensões. Ela é dada por:
partial^2 xipartial t^2 = c^2 nabla^2 xi
Aqui, partial^2 xipartial t^2 é a segunda derivada da onda em relação ao tempo, c é a velocidade da onda, e nabla^2 é o operador laplaciano, que envolve derivadas segundas no espaço.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da onda em relação ao tempo. A nossa onda é:
xi = xi0 sin(k cdot r - omega t)
Derivando uma vez em relação ao tempo t:
partial xipartial t = -xi0 omega cos(k cdot r - omega t)
E derivando de novo:
partial^2 xipartial t^2 = -xi0 omega^2 sin(k cdot r - omega t) = -omega^2 xi

Passo 4

Agora, vamos calcular o laplaciano nabla^2 xi. O laplaciano em três dimensões para a nossa onda é:
nabla^2 xi = partial^2 xipartial x^2 + partial^2 xipartial y^2 + partial^2 xipartial z^2
Como k cdot r = kxx + kyy + kzz, derivando duas vezes em relação a cada coordenada:
partial^2 xipartial x^2 = -xi0 kx^2 sin(k cdot r - omega t)
partial^2 xipartial y^2 = -xi0 ky^2 sin(k cdot r - omega t)
partial^2 xipartial z^2 = -xi0 kz^2 sin(k cdot r - omega t)
Somando tudo:
nabla^2 xi = -xi0 (kx^2 + ky^2 + kz^2) sin(k cdot r - omega t) = -|k|^2 xi
Onde |k|^2 = kx^2 + ky^2 + kz^2.

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo na equação de onda para ver se está tudo certo:
partial^2 xipartial t^2 = c^2 nabla^2 xi
Substituindo o que encontramos:
-omega^2 xi = c^2 (-|k|^2 xi)
Simplificando:
omega^2 = c^2 |k|^2
Isso significa que, para a equação ser satisfeita, a relação entre a frequência angular omega e o vetor de onda k deve ser omega = c |k|.

Resposta

Mostramos que xi = xi0 sin(k cdot r - omega t) satisfaz a equação de onda em três dimensões, desde que omega = c |k|.

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