Mostre que a onda
é uma solução da equação de onda em trés dimensões.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a onda
satisfaz a equação de onda em três dimensões. Isso está ligado ao estudo das ondas em física, mais especificamente às ondas que se propagam no espaço. Para resolver isso, vamos precisar mexer com derivadas parciais (tanto no tempo quanto no espaço) e entender como a equação de onda funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda em três dimensões. Ela é dada por:
Aqui,
é a segunda derivada da onda em relação ao tempo,
é a velocidade da onda, e
é o operador laplaciano, que envolve derivadas segundas no espaço.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada da onda em relação ao tempo. A nossa onda é:
Derivando uma vez em relação ao tempo
:
E derivando de novo:
Passo 4
Agora, vamos calcular o laplaciano
. O laplaciano em três dimensões para a nossa onda é:
Como
, derivando duas vezes em relação a cada coordenada:
Somando tudo:
Onde
.
Passo 5
Agora, vamos colocar tudo na equação de onda para ver se está tudo certo:
Substituindo o que encontramos:
Simplificando:
Isso significa que, para a equação ser satisfeita, a relação entre a frequência angular
e o vetor de onda
deve ser
.
Resposta
Mostramos que
satisfaz a equação de onda em três dimensões, desde que
.