1. Considere a operação simbolizada pelo sinal " \Delta ", a qual denominaremos de “operação triângulo”, definida sobre o conjunto dos números Naturais pela seguinte regra:
\forall a, b \in I N, \quad a \Delta b=a^{2}+3 b
a) Calcule o valor de 4 \Delta 1
b) Calcule o valor de (5 \Delta 2) \Delta 3
c) Prove o fechamento desta operação sobre o conjunto dos números Naturais, ou seja, mostre, apontando argumentos válidos, que o resultado desta operação sempre será, também, um número natural.

Passo 1

O enunciado define uma operação chamada “triângulo” sobre os números naturais com a regra
\forall a,b\in \mathbb{N},\quad a\Delta b = a^{2}+3b.
As perguntas do exercício são:
(a) Calcular 4\Delta 1.
(b) Calcular (5\Delta 2)\Delta 3.
(c) Provar que a operação é fechada em \mathbb{N}, isto é, mostrar que para quaisquer a,b\in\mathbb{N} o valor a\Delta b também pertence a \mathbb{N}.
Passos seguintes: vou calcular os itens (a) e (b) passo a passo e depois explicar e provar, didaticamente, por que a expressão a^{2}+3b é sempre um número natural quando a e b são naturais.

Passo 2

Calcular 4\Delta 1. Substituir a=4 e b=1 na definição a\Delta b=a^{2}+3b.
Primeiro computo a^{2} com a=4:
4^{2}=4\cdot 4=16.
Depois computo 3b com b=1:
3\cdot 1=3.
Agora somo os resultados:
4\Delta 1 = 4^{2}+3\cdot 1 = 16+3 = 19.

Passo 3

Calcular (5\Delta 2)\Delta 3. Este é um cálculo em duas etapas: primeiro avalio 5\Delta 2, depois aplico a operação ao resultado e a 3.
Etapa 1: calcular 5\Delta 2. Substituo a=5, b=2:
5\Delta 2 = 5^{2}+3\cdot 2.
Calculo os termos separadamente:
5^{2}=5\cdot 5=25, \qquad 3\cdot 2=6.
Somando:
5\Delta 2 = 25+6 = 31.
Etapa 2: agora calculo 31\Delta 3 (porque 5\Delta 2=31). Substituo a=31, b=3:
31\Delta 3 = 31^{2}+3\cdot 3.
Calculo os termos:
31^{2}=31\cdot 31 = 961 \qquad(\text{porque }30\cdot31=930\text{ e }1\cdot31=31,\;930+31=961),
3\cdot 3=9.
Somando:
(5\Delta 2)\Delta 3 = 31\Delta 3 = 961+9 = 970.

Passo 4

Explicar o que significa provar fechamento e qual estratégia usar. “Fechamento” significa: se eu pegar quaisquer a,b\in\mathbb{N} e aplicar a operação a\Delta b=a^{2}+3b, o resultado estará novamente em \mathbb{N}. Para provar isso basta usar propriedades básicas dos números naturais que provavelmente já conhece (vou relembrar): o conjunto \mathbb{N} é fechado para a multiplicação e para a adição — isto é, produto e soma de naturais são naturais. Vou usar essas propriedades de forma elementar e mostrar passo a passo que a^{2} e 3b são naturais e que a soma deles também é natural.

Passo 5

Prova formal do fechamento (passo a passo, bem didático).
  1. Começo tomando quaisquer a,b\in\mathbb{N}.
  2. Mostrar que a^{2}\in\mathbb{N}.
    • Por definição a^{2}=a\cdot a.
    • Como a\in\mathbb{N} e o produto de dois naturais é um natural (fechamento da multiplicação em \mathbb{N}), concluí que a^{2}\in\mathbb{N}.
    • Exemplo concreto: se a=4 então a^{2}=16, que é natural.
  3. Mostrar que 3b\in\mathbb{N}.
    • O número 3 é um elemento fixo de \mathbb{N}.
    • Como b\in\mathbb{N} e a multiplicação de naturais produz um natural, segue que 3\cdot b\in\mathbb{N}.
    • Exemplo concreto: se b=2 então 3b=6, que é natural.
  4. Mostrar que a soma a^{2}+3b pertence a \mathbb{N}.
    • Já temos a^{2}\in\mathbb{N} e 3b\in\mathbb{N}.
    • Como \mathbb{N} é fechado sob adição, a soma de dois naturais é natural.
    • Portanto a^{2}+3b\in\mathbb{N}.
  5. Conclusão: para quaisquer a,b\in\mathbb{N} o valor a\Delta b=a^{2}+3b pertence a \mathbb{N}. Isso é exatamente a definição de fechamento: a operação \Delta leva pares de naturais em um natural.
Observação pedagógica rápida: não importa se o conjunto \mathbb{N} que você usa inclui o 0 ou começa em 1; em ambos os casos os argumentos acima valem, porque produto e soma de naturais continuam sendo naturais.

Passo 6

Resumo final e incentivo: calculámos os casos pedidos passo a passo e provámos, usando apenas as propriedades básicas de soma e multiplicação, que a operação a\Delta b=a^{2}+3b é fechada em \mathbb{N}. Se estiver nervoso para a prova, lembra que esse tipo de demonstração é padrão: escreva sempre “pegue a,b\in\mathbb{N}, mostre que cada parcela é natural e depois some” — isso funciona para muitas operações parecidas.

Resposta

4\Delta 1 = 19
(5\Delta 2)\Delta 3 = 970
A operação \Delta é fechada em \mathbb{N}: para quaisquer a,b\in\mathbb{N} tem-se a\Delta b=a^{2}+3b\in\mathbb{N}.

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