- Considere a operação simbolizada pelo sinal "
", a qual denominaremos de “operação triângulo”, definida sobre o conjunto dos números Naturais pela seguinte regra:
a) Calcule o valor de
b) Calcule o valor de
c) Prove o fechamento desta operação sobre o conjunto dos números Naturais, ou seja, mostre, apontando argumentos válidos, que o resultado desta operação sempre será, também, um número natural.
b) Calcule o valor de
c) Prove o fechamento desta operação sobre o conjunto dos números Naturais, ou seja, mostre, apontando argumentos válidos, que o resultado desta operação sempre será, também, um número natural.
Passo 1
O enunciado define uma operação chamada “triângulo” sobre os números naturais com a regra
As perguntas do exercício são:
(a) Calcular .
(b) Calcular .
(c) Provar que a operação é fechada em , isto é, mostrar que para quaisquer
o valor
também pertence a
.
(a) Calcular
(b) Calcular
(c) Provar que a operação é fechada em
Passos seguintes: vou calcular os itens (a) e (b) passo a passo e depois explicar e provar, didaticamente, por que a expressão
é sempre um número natural quando
e
são naturais.
Passo 2
Calcular
. Substituir
e
na definição
.
Primeiro computo
com
:
Depois computo
com
:
Agora somo os resultados:
Passo 3
Calcular
. Este é um cálculo em duas etapas: primeiro avalio
, depois aplico a operação ao resultado e a
.
Etapa 1: calcular
. Substituo
,
:
Calculo os termos separadamente:
Somando:
Etapa 2: agora calculo
(porque
). Substituo
,
:
Calculo os termos:
Somando:
Passo 4
Explicar o que significa provar fechamento e qual estratégia usar. “Fechamento” significa: se eu pegar quaisquer
e aplicar a operação
, o resultado estará novamente em
. Para provar isso basta usar propriedades básicas dos números naturais que provavelmente já conhece (vou relembrar): o conjunto
é fechado para a multiplicação e para a adição — isto é, produto e soma de naturais são naturais. Vou usar essas propriedades de forma elementar e mostrar passo a passo que
e
são naturais e que a soma deles também é natural.
Passo 5
Prova formal do fechamento (passo a passo, bem didático).
-
Começo tomando quaisquer
. -
Mostrar que
. - Por definição
. - Como
e o produto de dois naturais é um natural (fechamento da multiplicação em ), concluí que . - Exemplo concreto: se
então , que é natural.
- Por definição
-
Mostrar que
. - O número
é um elemento fixo de . - Como
e a multiplicação de naturais produz um natural, segue que . - Exemplo concreto: se
então , que é natural.
- O número
-
Mostrar que a soma
pertence a . - Já temos
e . - Como
é fechado sob adição, a soma de dois naturais é natural. - Portanto
.
- Já temos
-
Conclusão: para quaisquer
o valor pertence a . Isso é exatamente a definição de fechamento: a operação leva pares de naturais em um natural.
Observação pedagógica rápida: não importa se o conjunto
que você usa inclui o
ou começa em
; em ambos os casos os argumentos acima valem, porque produto e soma de naturais continuam sendo naturais.
Passo 6
Resumo final e incentivo: calculámos os casos pedidos passo a passo e provámos, usando apenas as propriedades básicas de soma e multiplicação, que a operação
é fechada em
. Se estiver nervoso para a prova, lembra que esse tipo de demonstração é padrão: escreva sempre “pegue
, mostre que cada parcela é natural e depois some” — isso funciona para muitas operações parecidas.
Resposta
A operação