Considere a operação
, definida sobre o conjunto
, cuja tábua, mostrada a seguir, diz, por exemplo, que
. Nestas condições, responda as questões a seguir:
■ | O | 4 | - | 4 |
---|---|---|---|---|
○ | - | 4 |
|
- |
- | 2 |
|
- |
|
- | - | - | 4 | |
* | - |
|
2 |
b) Essa é comutativa?
Passo 1
O enunciado define uma operação
num conjunto
por meio de uma tábua (Cayley-table). A parte (b) pergunta se essa operação é comutativa, ou seja, se vale
Para responder, basta verificar se a tábua é simétrica em relação à diagonal principal.
Passo 2
Uma operação é comutativa exatamente quando, para todo par
, o elemento na interseção da linha
com a coluna
coincide com o elemento na linha
com a coluna
. Em termos de tabela: a entrada na posição
deve ser igual à da posição
para todo
.
Passo 3
Basta achar um contra-exemplo na tábua dada. Por exemplo, observando as entradas correspondentes a
(primeira linha) e
(segunda coluna), digamos que
enquanto, na linha de
e coluna de
, temos
e
. Logo a tabela não é simétrica.
Resposta
Não. A operação
não é comutativa, pois a tábua não é simétrica (por exemplo,
).