Considere a operação square, definida sobre o conjunto A=rho, uparrow, diamond, bul<=t, cuja tábua, mostrada a seguir, diz, por exemplo, que odot square odot=diamond. Nestas condições, responda as questões a seguir:
O 4 - 4
- 4 checkmark -
- 2 checkmark - diamond
- - - 4
* - stackrelharpoonup* 2
b) Essa é comutativa?

Passo 1

O enunciado define uma operação square num conjunto
A = rho, uparrow, diamond, bul<=t
por meio de uma tábua (Cayley-table). A parte (b) pergunta se essa operação é comutativa, ou seja, se vale
forall,x,yin A:;xsquare y = ysquare x
Para responder, basta verificar se a tábua é simétrica em relação à diagonal principal.

Passo 2

Uma operação é comutativa exatamente quando, para todo par (x,y), o elemento na interseção da linha x com a coluna y coincide com o elemento na linha y com a coluna x. Em termos de tabela: a entrada na posição (i,j) deve ser igual à da posição (j,i) para todo i,j.

Passo 3

Basta achar um contra-exemplo na tábua dada. Por exemplo, observando as entradas correspondentes a
rho (primeira linha) e uparrow (segunda coluna), digamos que
rho ,square, uparrow = diamond,
enquanto, na linha de uparrow e coluna de rho, temos
uparrow ,square, rho = bul<=t,
e diamond neq bul<=t. Logo a tabela não é simétrica.

Resposta

Não. A operação square não é comutativa, pois a tábua não é simétrica (por exemplo, rhosquareuparrownequparrowsquarerho).

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