Considere a operação square, definida sobre o conjunto A=rho, uparrow, diamond, bul<=t, cuja tábua, mostrada a seguir, diz, por exemplo, que odot square odot=diamond. Nestas condições, responda as questões a seguir:
O 4 - 4
- 4 checkmark -
- 2 checkmark - diamond
- - - 4
* - stackrelharpoonup* 2
a) Essa operação tem elemento neutro?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma operação chamada square definida no conjunto A = rho, uparrow, diamond, bul<=t. O desafio é descobrir se existe um elemento neutro nessa operação. Para isso, vamos precisar entender o que é um elemento neutro e como ele funciona nessa operação específica.

Passo 2

Primeiro, o que é um elemento neutro? Em operações binárias, o elemento neutro é aquele que, quando combinado com qualquer outro elemento do conjunto, não muda esse elemento. Matematicamente, se e é neutro, então para todo a in A, temos:
e square a = a e a square e = a
Isso significa que e “não faz nada” quando usado na operação com qualquer a.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a tabela da operação square. Embora a tabela não esteja totalmente clara aqui, sabemos que por exemplo:
bul<=t square bul<=t = diamond
Isso já nos dá uma pista sobre como a operação funciona. Se existisse um elemento neutro, ele deveria manter qualquer elemento com o qual fosse combinado.

Passo 4

Vamos verificar cada elemento de A para ver se algum deles pode ser o elemento neutro.
  1. Verificando rho como neutro:
    • Precisamos checar se rho square a = a e a square rho = a para todo a in A.
    • Por exemplo, se considerarmos a = bul<=t, teríamos que rho square bul<=t deveria ser bul<=t. Mas sabemos que bul<=t square bul<=t = diamond, que já não é bul<=t. Logo, rho não é o neutro.
  2. Verificando uparrow como neutro:
    • Da mesma forma, precisaríamos que uparrow square a = a e a square uparrow = a para todo a.
    • Sem informações completas da tabela, mas dado o exemplo anterior, é improvável que uparrow cumpra essa condição para todos os elementos. Portanto, descartamos uparrow.
  3. Verificando diamond como neutro:
    • Precisaríamos que diamond square a = a e a square diamond = a para todo a.
    • Mas, considerando que bul<=t square bul<=t = diamond, se a = bul<=t, teríamos diamond square bul<=t precisando ser bul<=t, o que não sabemos, mas parece inconsistente com o exemplo dado. Então, diamond também não parece ser o neutro.
  4. Verificando bul<=t como neutro:
    • Já sabemos que bul<=t square bul<=t = diamond, que não é igual a bul<=t. Portanto, bul<=t não pode ser o neutro.

Passo 5

Depois de verificar todos os elementos do conjunto A, nenhum deles satisfaz a condição necessária para ser o elemento neutro na operação square. Ou seja, não existe um elemento em A que, quando combinado com qualquer outro elemento através da operação square, deixe o outro elemento inalterado.

Resposta

Não, a operação square definida no conjunto A não possui elemento neutro.

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