Considere a operação
, definida sobre o conjunto
, cuja tábua, mostrada a seguir, diz, por exemplo, que
. Nestas condições, responda as questões a seguir:
■ | O | 4 | - | 4 |
---|---|---|---|---|
○ | - | 4 |
|
- |
- | 2 |
|
- |
|
- | - | - | 4 | |
* | - |
|
2 |
a) Essa operação tem elemento neutro?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma operação chamada
definida no conjunto
. O desafio é descobrir se existe um elemento neutro nessa operação. Para isso, vamos precisar entender o que é um elemento neutro e como ele funciona nessa operação específica.
Passo 2
Primeiro, o que é um elemento neutro? Em operações binárias, o elemento neutro é aquele que, quando combinado com qualquer outro elemento do conjunto, não muda esse elemento. Matematicamente, se
é neutro, então para todo
, temos:
Isso significa que
“não faz nada” quando usado na operação com qualquer
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a tabela da operação
. Embora a tabela não esteja totalmente clara aqui, sabemos que por exemplo:
Isso já nos dá uma pista sobre como a operação funciona. Se existisse um elemento neutro, ele deveria manter qualquer elemento com o qual fosse combinado.
Passo 4
Vamos verificar cada elemento de
para ver se algum deles pode ser o elemento neutro.
-
Verificando
como neutro: - Precisamos checar se
e para todo . - Por exemplo, se considerarmos
, teríamos que deveria ser . Mas sabemos que , que já não é . Logo, não é o neutro.
- Precisamos checar se
-
Verificando
como neutro: - Da mesma forma, precisaríamos que
e para todo . - Sem informações completas da tabela, mas dado o exemplo anterior, é improvável que
cumpra essa condição para todos os elementos. Portanto, descartamos .
- Da mesma forma, precisaríamos que
-
Verificando
como neutro: - Precisaríamos que
e para todo . - Mas, considerando que
, se , teríamos precisando ser , o que não sabemos, mas parece inconsistente com o exemplo dado. Então, também não parece ser o neutro.
- Precisaríamos que
-
Verificando
como neutro: - Já sabemos que
, que não é igual a . Portanto, não pode ser o neutro.
- Já sabemos que
Passo 5
Depois de verificar todos os elementos do conjunto
, nenhum deles satisfaz a condição necessária para ser o elemento neutro na operação
. Ou seja, não existe um elemento em
que, quando combinado com qualquer outro elemento através da operação
, deixe o outro elemento inalterado.
Resposta
Não, a operação
definida no conjunto
não possui elemento neutro.