Qual o resto da divisão de 97^88+89^96 por 8633 ?

Passo 1

O problema pede o resto da divisão de
97^88 + 89^96
por 8633. Vamos usar que 8633 é composto e aplicar o Teorema Chinês dos Restos junto com o Pequeno Teorema de Fermat.

Passo 2

Fatoramos o divisor:
8633 = 97 times 89
Portanto, basta encontrar o valor de 97^88+89^96 módulo 97 e módulo 89, e depois combinar via CRT.

Passo 3

Cálculo módulo 97:
  • Como 97^88equiv0pmod97,
  • e 89equiv -8pmod97, temos 89^96 equiv (-8)^96 = 8^96pmod97
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, phi(97)=96, logo
8^96equiv1pmod97
Assim
97^88+89^96equiv 0 + 1 = 1 pmod97

Passo 4

Cálculo módulo 89:
  • Como 89^96equiv0pmod89,
  • e 97equiv8pmod89, temos 97^88equiv 8^88pmod89
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, phi(89)=88, logo
8^88equiv1pmod89
Assim
97^88+89^96equiv 1 + 0 = 1 pmod89

Passo 5

Pelas congruências
xequiv1pmod97, xequiv1pmod89,
o Teorema Chinês dos Restos dá
xequiv1pmod97cdot89,
ou seja,
xequiv1pmod8633

Resposta

O resto é 1.

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