Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
cos (3 A)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
e pede cos(3A).
O conteúdo é cálculo funcional para matrizes triangulares: se A=lambda I+N com N nilpotente de ordem m, então
f(A)=sumk=0^m-1f^(k)(lambda)k!,N^k
Aqui lambda=1 e veremos que N^3=0.

Passo 2

Escrevemos
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
É claro que N é estritamente triangular superior de tamanho 3, logo N^3=0.

Passo 3

Tomamos f(x)=cos(3x). Pelo teorema de cálculo funcional para matrizes triangulares:
cos(3A) =sumk=0^2f^(k)(1)k!,N^k,
pois basta até k=2 já que N^3=0.

Passo 4

Calculamos as derivadas de f(x)=cos(3x) em x=1:
f(1)=cos(3), f'(x)=-3sin(3x) ;Longrightarrow; f'(1)=-3sin(3),
f''(x)=-9cos(3x) ;Longrightarrow; f''(1)=-9cos(3)

Passo 5

Já temos N. Agora
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
e N^0=I.

Passo 6

Substituindo em
cos(3A) =f(1)0!N^0+f'(1)1!N+f''(1)2!N^2
vem
cos(3A) =cos(3),I ;+; l(-3sin(3)r),N ;+; -9cos(3)2,N^2
Escrevendo em forma matricial:
cos(3A) = cos(3) & 0 & 0 0 & cos(3) & 0 0 & 0 & cos(3) ;+; 0 & -3sin(3) & -6sin(3) 0 & 0 & -9sin(3) 0 & 0 & 0 ;+; 0 & 0 & -tfrac272cos(3) 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Resposta

cos(3A) = cos(3) & -3sin(3) & -6sin(3)-tfrac272cos(3) 0 & cos(3) & -9sin(3) 0 & 0 & cos(3)

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