Determine uma base e a dimensão dos seguintes sub-espaçõos W do espaço V :
V=R^3 e W=[lx y z] in V / 2 x-y+z=0 e x+3 y-z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
O conteúdo aqui é resolver um sistema homogêneo em e sua dimensão.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial e aplicamos eliminação de Gauss:
Somando a primeira linha com duas vezes a segunda para eliminar :
Mantemos a segunda equação e substituímos a seguir.

Passo 3

Da equação obtemos
Substituindo em
Logo o vetor genérico de é
]

Passo 4

Para simplificar, escolhemos y=3 de modo a eliminar denominadores. Então um vetor gerador não-nulo é
-237
Como só temos um parâmetro livre, a dimensão de W é 1.

Resposta

Uma base de W é
l,( -2, ,3, ,7 )^Tr
e dim(W)=1.

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