Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
sen(2 A)

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz triangular superior
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
e pede para calcular sen(2A) usando cálculo funcional. Vamos usar o fato de que A pode ser escrita como I+N com N nilpotente.

Passo 2

Definimos
N = A - I
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N = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Como N é estritamente triangular de ordem 3, vale N^3=0.

Passo 3

Para uma função analítica f, em geral vale
f(I+N) ;=;summ=0^2f^(m)(1)m!,N^m,
pois N^3=0. Aqui f(x)=sen(2x).

Passo 4

Calculamos as derivadas de f em x=1:
f(x)=sen(2x), f'(x)=2cos(2x), f''(x)=-4sen(2x)
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f(1)=sen(2), f'(1)=2cos(2), f''(1)=-4sen(2)

Passo 5

Usando a série truncada,
sen(2A) =summ=0^2f^(m)(1)m!,N^m =sen(2),I +2cos(2),N +-4sen(2)2,N^2
Isto é,
sen(2A) =sen(2),I +2cos(2),N -2sen(2),N^2

Passo 6

Calculamos N^2:
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Substituindo em sen(2A), somamos os termos:
sen(2),I sen(2) na diagonal.
2cos(2),N acrescenta 2cos(2) em (1,2), 4cos(2) em (1,3) e 6cos(2) em (2,3).
-2sen(2),N^2 subtrai 2sen(2)times3=6sen(2) em (1,3).

Passo 7

Somando todos os termos, obtemos
sen(2A) = sen(2) & 2cos(2) & 4cos(2)-6sen(2)[6pt] 0 & sen(2) & 6cos(2)[4pt] 0 & 0 & sen(2) ]

Resposta

sen(2A) = sen(2) & 2cos(2) & 4cos(2)-6sen(2) 0 & sen(2) & 6cos(2) 0 & 0 & sen(2)

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