Considere o operador A cuja matriz é:
Use o cálculo funcional para obter:
sen(2 A)
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz triangular superior
e pede para calcular
sen(2A) usando cálculo funcional. Vamos usar o fato de que
A pode ser escrita como
I+N com
N nilpotente.
Passo 2
Definimos
logo
Como
N é estritamente triangular de ordem
3 , vale
N^3=0 .
Passo 3
Para uma função analítica
f , em geral vale
pois
N^3=0 . Aqui
f(x)=sen(2x) .
Passo 4
Calculamos as derivadas de
f em
x=1 :
Logo
Passo 5
Usando a série truncada,
Isto é,
Passo 6
Calculamos
N^2 :
Substituindo em
sen(2A) , somamos os termos:
–
sen(2),I dá
sen(2) na diagonal.
–2cos(2),N acrescenta
2cos(2) em
(1,2) ,
4cos(2) em
(1,3) e
6cos(2) em
(2,3) .
–-2sen(2),N^2 subtrai
2sen(2)times3=6sen(2) em
(1,3) .
–
–
Passo 7
Somando todos os termos, obtemos