Dada a matriz A=[lll1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 2 & 3 & 1], considere V=Nul(A) e W=Col(A).
Determine se V é R^3, um plano, uma reta ou contém somente o vetor nulo.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
e define . Para saber se é , um plano, uma reta ou só o vetor nulo, vamos usar o Teorema da Dimensão (teorema posto de posto e nulidade), calculando o posto de e assim a nulidade.

Passo 2

Fazemos eliminação de Gauss em A:
1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 2 & 3 & 1 ;xrightarrowR2>=ts R2-R1,;R3>=ts R3-2R1; 1 & 1 & 1 0 & -1 & 1 0 & 1 & -1 ;xrightarrowR3>=ts R3+R2; 1 & 1 & 1 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0

Passo 3

Da forma escalonada vemos dois pivôs (na coluna 1 e na coluna 2), logo
Pela relação com , vem

Passo 4

Como , o espaço nulo é um subespaço unidimensional de , ou seja, uma reta que passa pela origem.

Resposta

é uma reta em .

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