Considere o operador A cuja matriz é:
Use o cálculo funcional para obter:
cos (7 A)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede
cos(7A) . Note que podemos escrever
A=I+N com
onde
N^3=0 . Como
cos(7A)=sumk=0^infty(-1)^k(7A)^2k(2k)! e
N é nilpotente de ordem
3 , só precisamos de até
N^2 .
Passo 2
Usando o binômio para
A^2k=(I+N)^2k temos
Logo
Separando as três somas:
Passo 3
Reconhecemos as séries:
Portanto
Passo 4
Vamos computar
N e
N^2 :
Passo 5
Substituindo em
cos(7A)=cos7,I-7sin7,N-tfrac492cos7,N^2 , obtemos