Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
cos (7 A)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
e pede cos(7A). Note que podemos escrever A=I+N com
N= 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ,
onde N^3=0. Como cos(7A)=sumk=0^infty(-1)^k(7A)^2k(2k)! e N é nilpotente de ordem 3, só precisamos de até N^2.

Passo 2

Usando o binômio para A^2k=(I+N)^2k temos
A^2k=I+2k,N+2k(2k-1)2,N^2 =I+2k,N+k(2k-1),N^2
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cos(7A) =sumk=0^infty(-1)^k7^2k(2k)!l[I+2k,N+k(2k-1),N^2r]
Separando as três somas:
cos(7A) =l(sumk=0^infty(-1)^k7^2k(2k)!r)I +l(sumk=0^infty(-1)^k7^2k,2k(2k)!r)N +l(sumk=0^infty(-1)^k7^2k,k(2k-1)(2k)!r)N^2

Passo 3

Reconhecemos as séries:
sumk=0^infty(-1)^k7^2k(2k)!=cos7,
sumk=0^infty(-1)^k7^2k,2k(2k)! =-7sin7,
sumk=0^infty(-1)^k7^2k,k(2k-1)(2k)! =-492cos7
Portanto
cos(7A)=cos7,I;-;7sin7,N;-;492cos7,N^2

Passo 4

Vamos computar N e N^2:
N=0&1&20&0&30&0&0, N^2=0&0&30&0&00&0&0

Passo 5

Substituindo em cos(7A)=cos7,I-7sin7,N-tfrac492cos7,N^2, obtemos
cos(7A) = cos7 & -7sin7 & -14sin7-tfrac1472cos7[6pt] 0 & cos7 & -21sin7[6pt] 0 & 0 & cos7 ]

Resposta

cos(7A) = cos7 & -7sin7 & -14sin7-tfrac1472cos7[6pt] 0 & cos7 & -21sin7[6pt] 0 & 0 & cos7 ]

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