Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
sen(7 A)

Passo 1

O enunciado pede para calcular sen(7A) sabendo que
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
O conteúdo aqui é cálculo funcional em matrizes triangulares: se A=lambda I+N com N nilpotente, então
f(A)=sumk=0^m-1f^(k)(lambda)k!N^k,
onde m é tal que N^m=0.

Passo 2

Identificamos lambda=1 e definimos
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Como N é estritamente triangular superior de ordem 3, temos N^3=0.

Passo 3

Tomamos f(x)=sen(7x). Precisamos de f(1), f'(1) e f''(1), pois N^3=0 faz o somatório truncar em k=2:
f^(0)(1)=sen(7), f'(x)=7cos(7x);Rightarrow;f'(1)=7cos(7),
f''(x)=-49sen(7x);Rightarrow;f''(1)=-49sen(7)

Passo 4

Calculamos também N^2:
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 5

Aplicando a fórmula do cálculo funcional:
sen(7A) =sumk=0^2 f^(k)(1)k!,N^k =sen(7),I + 7cos(7),N + -49sen(7)2,N^2

Passo 6

Agora montamos a matriz termo a termo:
sin(7A) = sin(7)&0&0 0&sin(7)&0 0&0&sin(7) +7cos(7) 0&1&2 0&0&3 0&0&0 -49sin(7)2 0&0&3 0&0&0 0&0&0
Somando:
sin(7A)= sin(7) & 7cos(7) & 14cos(7)-tfrac1472sin(7)[6pt] 0 & sin(7) & 21cos(7)[4pt] 0 & 0 & sin(7) ]

Resposta

sen(7A)= sen(7) & 7cos(7) & 14cos(7)-tfrac1472sen(7) 0 & sen(7) & 21cos(7) 0 & 0 & sen(7)

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