Para as seguintes matrizes, ache uma base e a dimensão para o espaço nulo de A e para o espaço coluna de A.
A=[cccc1 & -1 & -1 & 2 1 & -1 & -1 & -2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão do espaço nulo (núcleo) de A e do espaço coluna de A, onde
A = 1 & -1 & -1 & 2 1 & -1 & -1 & -2
O conteúdo é cálculo de posto, espaços fundamentais de uma matriz e resolução de sistema homogêneo.

Passo 2

Vamos obter a forma escalonada de A. Subtraindo a primeira linha da segunda, temos
1 & -1 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & -4
Dessa forma aparecem pivôs nas colunas 1 e 4, logo rank(A)=2.

Passo 3

O espaço coluna de A é gerado pelas colunas correspondentes a pivôs, ou seja, as colunas 1 e 4 de A. Uma base para Col(A) é
(1,1)^T,,(2,-2)^T,
e sua dimensão é dim(Col(A))=2.

Passo 4

Para o espaço nulo, resolvemos A x=0. Das equações
x1 - x2 - x3 + 2x4 = 0, x1 - x2 - x3 -2x4 = 0,
subtraindo uma da outra obtemos x4=0. Substituindo de volta vem x1 = x2 + x3. Tomando parâmetros livres x2 = s e x3 = t, obtemos
x = (x1,x2,x3,x4) = s,(1,1,0,0) + t,(1,0,1,0)
Portanto uma base para ker(A) é
(1,1,0,0),,(1,0,1,0),
e dim(ker(A))=2.

Resposta

Espaço nulo: base (1,1,0,0),,(1,0,1,0), dimensão 2.\n
Espaço coluna: base (1,1)^T,,(2,-2)^T, dimensão 2.

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