Para as seguintes matrizes, ache uma base e a dimensão para o espaço nulo de
e para o espaço coluna de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão do espaço nulo (núcleo) de
A e do espaço coluna de
A , onde
O conteúdo é cálculo de posto, espaços fundamentais de uma matriz e resolução de sistema homogêneo.
Passo 2
Vamos obter a forma escalonada de
A . Subtraindo a primeira linha da segunda, temos
Dessa forma aparecem pivôs nas colunas 1 e 4, logo
rank(A)=2 .
Passo 3
O espaço coluna de
A é gerado pelas colunas correspondentes a pivôs, ou seja, as colunas 1 e 4 de
A . Uma base para
Col(A) é
e sua dimensão é
dim(Col(A))=2 .
Passo 4
Para o espaço nulo, resolvemos
A x=0 . Das equações
subtraindo uma da outra obtemos
x4=0 . Substituindo de volta vem
x1 = x2 + x3 . Tomando parâmetros livres
x2 = s e
x3 = t , obtemos
Portanto uma base para
ker(A) é
e
dim(ker(A))=2 .
Resposta
Espaço nulo: base
(1,1,0,0),,(1,0,1,0) , dimensão
2 .\n
Espaço coluna: base(1,1)^T,,(2,-2)^T , dimensão
2 .
Espaço coluna: base