Para as seguintes matrizes, ache uma base e a dimensão para o espaço nulo de A e para o espaço coluna de A.
A=[cccc1 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 & -1]

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do espaço nulo (kernel) de A e do espaço coluna (imagem) de A. O conteúdo aqui é o teorema da dimensão (rank–nullity) e a eliminação de Gauss para encontrar pivôs e variáveis livres. A matriz dada é
A= 1 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 & -1

Passo 2

Aplicamos operações de linha para obter uma forma escalonada. Subtraindo a segunda linha da terceira:
1 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & -2
Em seguida, dividimos a terceira linha por -2:
1 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 1
Esta é uma forma escalonada em que os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 4.

Passo 3

Para achar o espaço nulo, escrevemos o sistema homogêneo correspondente:
x1 + x2 + x4 = 0, x1,x2 - x3 + x4 = 0, x1+x2,x4 = 0
Da última equação vem x4=0. Substituindo em cima:
x2-x3=0implies x2=x3, x1+x2=0implies x1=-x2=-x3
Como x3 é livre, seja x3=t. Logo
(x1,x2,x3,x4) = t,(-1,1,1,0)
Assim a base do núcleo é (-1,1,1,0) e
diml(ker Ar)=1

Passo 4

O espaço coluna é gerado pelas colunas de A correspondentes aos pivôs: colunas 1, 2 e 4. Logo uma base é
l(1,0,0)^T,,(1,1,1)^T,,(1,1,-1)^Tr
e
diml(ColAr)=3

Resposta

Base de ker A: (-1,1,1,0) e dim(ker A)=1.
Base de ColA: (1,0,0)^T,,(1,1,1)^T,,(1,1,-1)^T e dim(ColA)=3.

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