Para as seguintes matrizes, ache uma base e a dimensão para o espaço nulo de A e para o espaço coluna de A.
A=[cccc1 & -2 & 7 & 0 1 & -1 & 4 & 0 3 & 2 & -3 & 5 2 & 1 & -1 & 3]

Passo 1

Temos a matriz
A= 1 & -2 & 7 & 0 1 & -1 & 4 & 0 3 & 2 & -3 & 5 2 & 1 & -1 & 3
e queremos encontrar uma base e a dimensão do espaço nulo N(A) (solução de A x=0) e do espaço coluna Col(A). Vamos usar eliminação de Gauss para determinar o posto de A, identificar variáveis livres e pivôs, e então obter as bases e dimensões pedidas.

Passo 2

Aplicamos operações de linha para chegar a uma forma escalonada:
  1. R2>=ts R2-R1,;R3>=ts R3-3R1,;R4>=ts R4-2R1.
  2. R3>=ts R3-8R2,;R4>=ts R4-5R2.
  3. Dividimos R3 por 5 e então R4>=ts R4-3R3.
    O resultado é
1 & -2 & 7 & 0 0 & 1 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Da forma escalonada vemos pivôs nas colunas 1, 2 e 4. Logo:
  • x3 é livre.
  • Da terceira linha vem x4=0.
  • Da segunda linha vem x2-3x3=0, ou seja x2=3x3.
  • Da primeira linha vem x1-2x2+7x3=0, substituindo x2,
x1-2(3x3)+7x3=0Longrightarrow x1=-x3
Assim o vetor geral de N(A) é
x=x3-1310,
mostrando que dim N(A)=1 e uma base é (-1,3,1,0)^T.

Passo 4

Como há pivôs nas colunas 1, 2 e 4, as colunas correspondentes de A formam uma base de Col(A). São
1132, -2-121, 0053
O número de pivôs é 3, logo dimCol(A)=3.

Resposta

Base de N(A): (-1,3,1,0)^T, dim N(A)=1.
Base de Col(A): (1,1,3,2)^T,;(-2,-1,2,1)^T,;(0,0,5,3)^T, dimCol(A)=3.

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