Considere o operador A cuja matriz é:
Use o cálculo funcional para obter:
cos (5 A)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede
cos(5A) usando cálculo funcional. O conteúdo é a expansão de Taylor de
f(x)=cos(5x) centrada em
x=1 aplicada a
A , aproveitando que
A = I + N com
N nilpotente de índice
3 (
N^3=0 ).
Passo 2
Definimos
e verificamos que
Passo 3
Para
f(x)=cos(5x) calculamos as derivadas em
x=1 :
Passo 4
Como
N^3=0 , a fórmula de cálculo funcional dá
Passo 5
Substituindo os valores de
f(1) ,
f'(1) ,
f''(1) e as matrizes
N,N^2 , obtemos
Passo 6
Fazendo as contas termo a termo, chegamos a