Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
cos (5 A)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
e pede cos(5A) usando cálculo funcional. O conteúdo é a expansão de Taylor de f(x)=cos(5x) centrada em x=1 aplicada a A, aproveitando que A = I + N com N nilpotente de índice 3 ( N^3=0).

Passo 2

Definimos
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ,
e verificamos que
N^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , N^3 = 0

Passo 3

Para f(x)=cos(5x) calculamos as derivadas em x=1:
f(1)=cos5, f'(x)=-5sin(5x)implies f'(1)=-5sin5, f''(x)=-25cos(5x)implies f''(1)=-25cos5

Passo 4

Como N^3=0, a fórmula de cálculo funcional dá
f(A)=f(1),I + f'(1),N + f''(1)2!,N^2

Passo 5

Substituindo os valores de f(1), f'(1), f''(1) e as matrizes N,N^2, obtemos
cos(5A) =cos5,I ;-;5sin5,N ;+;-25cos52,N^2

Passo 6

Fazendo as contas termo a termo, chegamos a
cos(5A) = cos5 & -5sin5 & -10sin5-tfrac752cos5 0 & cos5 & -15sin5 0 & 0 & cos5

Resposta

boxed cos(5A) = cos5 & -5sin5 & -10sin5-tfrac752cos5 0 & cos5 & -15sin5 0 & 0 & cos5

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