Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
cos (pi2 A)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
cos!l(tfracpi2Ar)
onde
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
O conteúdo que vamos usar é cálculo funcional via série de Taylor e a decomposição de A em parte diagonal mais parte nilpotente.

Passo 2

Note que podemos escrever
A = I + N,
onde
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
É fácil verificar que N^3=0 (nilpotente de ordem 3) e que [I,N]=0. Então, usando a identidade funcional para operadores que comutam,
cosl(tfracpi2(I+N)r) =cos!l(tfracpi2Ir),cos!l(tfracpi2Nr) ;-; sin!l(tfracpi2Ir),sin!l(tfracpi2Nr)

Passo 3

Calculamos
cos!l(tfracpi2Ir)=cos!l(tfracpi2r),I=0, sin!l(tfracpi2Ir)=sin!l(tfracpi2r),I=I
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cos!l(tfracpi2Ar) =-,sin!l(tfracpi2Nr)
Para sin(tfracpi2N) usamos a série de Taylor
sin!l(tfracpi2Nr) =sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!l(tfracpi2Nr)^2k+1,
mas como N^3=0 todos os termos com k>=1 se anulam, restando
sin!l(tfracpi2Nr) =tfracpi2,N

Passo 4

Substituindo em cos(tfracpi2A)=-sin(tfracpi2N) obtemos
cos!(tfracpi2A) =-,tfracpi2,N =-,tfracpi2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 = 0 & -tfracpi2 & -pi[6pt] 0 & 0 & -tfrac3pi2[4pt] 0 & 0 & 0 ]

Resposta

cos!l(tfracpi2Ar) = 0 & -tfracpi2 & -pi 0 & 0 & -tfrac3pi2 0 & 0 & 0

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