Considere o operador A cuja matriz é:
Use o cálculo funcional para obter:
cos (pi2 A)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
O conteúdo que vamos usar é cálculo funcional via série de Taylor e a decomposição de
A em parte diagonal mais parte nilpotente.
Passo 2
Note que podemos escrever
onde
É fácil verificar que
N^3=0 (nilpotente de ordem
3 ) e que
[I,N]=0 . Então, usando a identidade funcional para operadores que comutam,
Passo 3
Calculamos
Logo
Para
sin(tfracpi2N) usamos a série de Taylor
mas como
N^3=0 todos os termos com
k>=1 se anulam, restando
Passo 4
Substituindo em
cos(tfracpi2A)=-sin(tfracpi2N) obtemos