Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
cos (pi A)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o operador A cuja matriz (na base canônica) é
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 ,
e queremos calcular cos(pi A) usando cálculo funcional. O ponto-chave é que A é uma matriz triangular com único autovalor lambda=1 de multiplicidade três, e o desvio em relação à identidade
N = A - I
é nilpotente de ordem 3. Vamos usar a expansão de Taylor de f(x)=cos(pi x) em torno de x=1 e truncar em potências até N^2, já que N^3=0.

Passo 2

Definimos
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Observação importante: como A é triangular e todos os elementos diagonais de N são zero, temos N^3=0.

Passo 3

Calculemos as derivadas de f(x)=cos(pi x) em x=1:
f(1) = cos(pi) = -1,
f'(x)=-pisin(pi x);Longrightarrow;f'(1)=-pisin(pi)=0,
f''(x)=-pi^2cos(pi x);Longrightarrow;f''(1)=-pi^2cos(pi)=pi^2,
f'''(1)=pi^3sin(pi)=0

Passo 4

A fórmula de cálculo funcional para matrizes com um autovalor lambda e desvio nilpotente N é
f(A)=sumk=0^m-1f^(k)(lambda)k!,N^k,
onde m é tal que N^m=0. Aqui m=3, logo
cos(pi A) = f(A) = f(1),I + f'(1),N + f''(1)2!,N^2 = -I + 0cdot N + pi^22,N^2

Passo 5

Precisamos de N^2. Calculando diretamente,
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 6

Substituindo em cos(pi A) = -I + pi^22N^2, obtemos
cos(pi A) = - 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 +pi^22 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = -1 & 0 & tfrac3pi^22 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

cos(pi A) = -1 & 0 & tfrac3pi^22 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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