Seja W o subespaço, de R^4, gerado pelos vetores: [c1 -1 0 0],[l0 0 1 1],[c-2 2 1 1],[l1 0 0 0]
(a) [c2 -3 2 2] in W ?. Justifique
(b) Exiba uma base para W.

Passo 1

Resumindo: temos W=spanv1,v2,v3,v4subsetR^4 onde
v1=1-100,; v2=0011,; v3=-2211,; v4=1000,
e queremos (a) verificar se b=(2,-3,2,2)^T pertence a W e (b) exibir uma base de W. Para (a) montamos um sistema de combinação linear; para (b) achamos dependências e extraímos vetores independentes.

Passo 2

Para checar bin W escrevemos
alpha v1+beta v2+gamma v3+de<a v4 =2-322,
o que gera o sistema
alpha-2gamma+de<a=2, -alpha+2gamma=-3, beta+gamma=2, beta+gamma=2

Passo 3

Da segunda equação vem alpha=2gamma+3. Substituindo na primeira:
(2gamma+3)-2gamma+de<a=2implies3+de<a=2impliesde<a=-1
Da terceira fica beta=2-gamma. Tomando gamma=0 obtemos alpha=3, beta=2, de<a=-1. Logo
b=3v1+2v2+0cdot v3-1cdot v4,
portanto bin W.

Passo 4

Para exibir uma base, buscamos dependência entre os geradores. No caso homogêneo
alpha v1+beta v2+gamma v3+de<a v4=0
aparecem as condições beta+gamma=0, -alpha+2gamma=0, alpha-2gamma+de<a=0. A relação não-trivial é
v3=-2,v1+1,v2,
ou seja, v3 é redundante e podemos gerar W só com v1,v2,v4.

Passo 5

Verificamos que v1,v2,v4 é linearmente independente:
se alpha v1+beta v2+de<a v4=0 então pelas coordenadas beta=0, alpha=0, de<a=0. Logo esse trio é uma base de W.

Resposta

(a) Sim, 2-322in W, pois
2-322 =3,v1+2,v2-1,v4
(b) Uma base de W é
l 1-100,, 0011,, 1000 r

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