Seja o subespaço, de , gerado pelos vetores:
(a) [c2 -3 2 2] in W ?. Justifique
(b) Exiba uma base para W.
Passo 1
Resumindo: temos W=spanv1,v2,v3,v4subsetR^4 onde
v1=1-100,; v2=0011,; v3=-2211,; v4=1000,
e queremos (a) verificar se b=(2,-3,2,2)^T pertence a W e (b) exibir uma base de W. Para (a) montamos um sistema de combinação linear; para (b) achamos dependências e extraímos vetores independentes.
Da terceira fica beta=2-gamma. Tomando gamma=0 obtemos alpha=3, beta=2, de<a=-1. Logo
b=3v1+2v2+0cdot v3-1cdot v4,
portanto bin W.
Passo 4
Para exibir uma base, buscamos dependência entre os geradores. No caso homogêneo alpha v1+beta v2+gamma v3+de<a v4=0
aparecem as condições beta+gamma=0, -alpha+2gamma=0, alpha-2gamma+de<a=0. A relação não-trivial é
v3=-2,v1+1,v2,
ou seja, v3 é redundante e podemos gerar W só com v1,v2,v4.
Passo 5
Verificamos que v1,v2,v4 é linearmente independente:
se alpha v1+beta v2+de<a v4=0 então pelas coordenadas beta=0, alpha=0, de<a=0. Logo esse trio é uma base de W.