Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
sen(pi2 A)

Passo 1

O enunciado pede para calcular sinl(tfracpi2Ar) em que
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
O conteúdo é cálculo funcional de matrizes triangulares usando a decomposição A=lambda I+N com N nilpotente.

Passo 2

Observamos que todos os autovalores de A são iguais a 1. Logo podemos escrever
A = I + N,
onde
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ,
e N^3=0 (pois ,N é estritamente superior triangular 3times3).

Passo 3

Para uma função f suficientemente suave, a série de Taylor em torno de 1
f(A) ;=; f(1)I ;+; f'(1),N ;+;f''(1)2!,N^2,
já que N^k=0 para k>=3.

Passo 4

Aqui f(x)=sinl(tfracpi2xr). Calculamos as derivadas em x=1:
f(1)=sin!l(tfracpi2r)=1, f'(x)=tfracpi2cos!l(tfracpi2xr);Rightarrow;f'(1)=0,
f''(x)=-tfracpi^24sin!l(tfracpi2xr) ;Rightarrow; f''(1)=-tfracpi^24

Passo 5

Substituindo em
f(A)=f(1)I+f'(1)N+f''(1)2!N^2
obtemos
sinl(tfracpi2Ar) =I ;+;0cdot N ;+;-tfracpi^242,N^2 =I-pi^28,N^2

Passo 6

Já sabemos
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Resposta

sinl(tfracpi2Ar) =I-pi^28,N^2 = 1 & 0 & -tfrac3pi^28 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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