Considere o operador A cuja matriz é:
Use o cálculo funcional para obter:
sen(pi2 A)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sinl(tfracpi2Ar) em que
O conteúdo é cálculo funcional de matrizes triangulares usando a decomposição
A=lambda I+N com
N nilpotente.
Passo 2
Observamos que todos os autovalores de
A são iguais a
1 . Logo podemos escrever
onde
e
N^3=0 (pois
,N é estritamente superior triangular
3times3 ).
Passo 3
Para uma função
f suficientemente suave, a série de Taylor em torno de
1 dá
já que
N^k=0 para
k>=3 .
Passo 4
Aqui
f(x)=sinl(tfracpi2xr) . Calculamos as derivadas em
x=1 :
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Já sabemos