Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
e^3 A

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
e pede e^3A. O conteúdo aqui é exponenciação de matrizes, que podemos fazer usando cálculo funcional para matrizes triangulares: separar a parte diagonal da parte nilpotente.

Passo 2

Escrevemos
A = I + N,
onde I é a identidade 3times3 e
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Note que N é nilpotente de ordem 3, ou seja, N^3 = 0.

Passo 3

Como I comuta com N, temos
e^3A = e^3(I+N) = e^3I,e^3N = e^3,e^3N

Passo 4

Usamos a expansão em série para e^3N, que se trunca em N^2 pois N^3=0:
e^3N = sumk=0^infty(3N)^kk! = I + 3N + (3N)^22!

Passo 5

Calculamos
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 6

Substituindo em I + 3N + tfrac(3N)^22 obtém-se
e^3N = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 +3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 +92 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 1 & 3 & tfrac392 0 & 1 & 9 0 & 0 & 1

Passo 7

Finalmente
e^3A = e^3,e^3N = e^3 1 & 3 & tfrac392 0 & 1 & 9 0 & 0 & 1 = e^3 & 3e^3 & tfrac392e^3 0 & e^3 & 9e^3 0 & 0 & e^3

Resposta

e^3A = e^3 & 3e^3 & tfrac392e^3 0 & e^3 & 9e^3 0 & 0 & e^3

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