Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
sen(3 pi2 A)

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular
A= 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
e pede sinl(tfrac3pi2Ar). Como A é triangular com único autovalor lambda=1 de multiplicidade 3, podemos usar o cálculo funcional via a expansão de Taylor em torno de lambda=1, pois N=A-I é nilpotente de ordem 3.

Passo 2

Definimos
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Calculamos
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , N^3 = 0

Passo 3

Tomamos a função
f(x)=sinl(tfrac3pi2xr)
Calculamos derivadas em x=1:
f(1)=sin!l(tfrac3pi2r)=-1,
f'(x)=tfrac3pi2cos!l(tfrac3pi2xr) ;Rightarrow; f'(1)=tfrac3pi2cos!l(tfrac3pi2r)=0,
f''(x)=-l(tfrac3pi2r)^2sin!l(tfrac3pi2xr) ;Rightarrow; f''(1)=-tfrac9pi^24,(-1)=tfrac9pi^24

Passo 4

Pela fórmula de Taylor para matriz Jordan de tamanho 3,
f(A)=sumk=0^2f^(k)(1)k!,N^k = f(1),I + f'(1),N + f''(1)2!,N^2
Como f'(1)=0 e f''(1)/2!=tfrac9pi^28,
sin!l(tfrac3pi2Ar) = -I + 9pi^28,N^2

Passo 5

Substituindo N^2 e I,
-I = -1&0&00&-1&00&0&-1, 9pi^28N^2 = 9pi^28 0&0&30&0&00&0&0 = 0 & 0 & tfrac27pi^28 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Somando-os, obtemos a matriz final.

Resposta

sin!l(tfrac3pi2Ar) = -1 & 0 & tfrac27pi^28 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Exercícios relacionados