Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
e^2 A

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de exp(2A) para
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
O conteúdo principal é o uso do cálculo funcional de matrizes, em particular a exponencial de uma matriz triangular que se decompõe em parte escalar (proporcional à identidade) e parte nilpotente.

Passo 2

Escrevemos
A = I + N,
onde I é a matriz identidade 3times3 e
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Note que N é estritamente triangular superior e, portanto, nilpotente.

Passo 3

Calculamos as potências de N:
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
e claramente N^3=0.

Passo 4

Usamos que
e^2A = e^2(I+N) = e^2I,e^2N = e^2,e^2N
e expandimos a exponencial nilpotente em série finita:
e^2N = I + 2N + (2N)^22! = I + 2N + 2N^2

Passo 5

Substituindo N e N^2,
I + 2N + 2N^2 = 1&0&00&1&00&0&1 +20&1&20&0&30&0&0 +20&0&30&0&00&0&0 = 1 & 2 & 10 0 & 1 & 6 0 & 0 & 1
Logo,
e^2A = e^2, 1 & 2 & 10 0 & 1 & 6 0 & 0 & 1

Resposta

e^2A = e^2 1 & 2 & 10 0 & 1 & 6 0 & 0 & 1

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