Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
e^A

Passo 1

Vamos calcular exp(A) para
A= 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
O que vamos usar aqui é o cálculo funcional de matriz, isto é, a definição em série
exp(A)=sumk=0^inftyA^kk!,
e o fato de que A é triangular superior e pode ser escrito como A=I+N com N nilpotente.

Passo 2

Decompondo A em identidade mais parte nilpotente, definimos
N = A - I = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 - 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0

Passo 3

Como N é estritamente superior triangular, ele é nilpotente de ordem 3. Vamos calcular
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
e nota-se que
N^3=0

Passo 4

Como I e N comutam, usamos
exp(A)=exp(I+N)=exp(I),exp(N) =e,exp(N),
porque exp(I)=e,I.

Passo 5

Agora truncamos a série de exp(N), pois N^3=0:
exp(N) =I + N + tfrac12N^2

Passo 6

Somando as matrizes:
I+N+tfrac12N^2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 + 12 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 1 & 1 & tfrac72 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
Multiplicando por e, obtemos exp(A)=e,(I+N+tfrac12N^2).

Resposta

exp(A) =e 1 & 1 & tfrac72 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 = e & e & tfrac7e2 0 & e & 3e 0 & 0 & e

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