Considere o operador A cuja matriz é:
Use o cálculo funcional para obter:
e^A
Passo 1
Vamos calcular
exp(A) para
O que vamos usar aqui é o cálculo funcional de matriz, isto é, a definição em série
e o fato de que
A é triangular superior e pode ser escrito como
A=I+N com
N nilpotente.
Passo 2
Decompondo
A em identidade mais parte nilpotente, definimos
Passo 3
Como
N é estritamente superior triangular, ele é nilpotente de ordem 3. Vamos calcular
e nota-se que
Passo 4
Como
I e
N comutam, usamos
porque
exp(I)=e,I .
Passo 5
Agora truncamos a série de
exp(N) , pois
N^3=0 :
Passo 6
Somando as matrizes:
Multiplicando por
e , obtemos
exp(A)=e,(I+N+tfrac12N^2) .