Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
cos (-pi2 A)

Passo 1

O enunciado dá a matriz de um operador A em R^3:
A= 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
e pede para calcular cosl(-tfracpi2Ar).
O conteúdo envolve o cálculo funcional de uma função analítica (aqui cos) aplicada a uma matriz triangular.

Passo 2

Note que A é triangular superior com autovalor lambda=1 de multiplicidade 3. Podemos escrever
A = I + N,
onde
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
é nilpotente de ordem 3 ( N^3=0).

Passo 3

Para uma função analítica f em torno de lambda, vale
f(A)=f(lambda I+N)=sumk=0^m-1f^(k)(lambda)k!,N^k,
onde m é tal que N^m=0. Aqui m=3. Como cos é função par,
cosl(-tfracpi2xr)=cosl(tfracpi2xr),
então basta usar f(x)=cosl(tfracpi2xr) em lambda=1.

Passo 4

Calculemos as derivadas de f(x) em x=1:
f(x)=cosl(tfracpi2xr), f'(x)=-tfracpi2,sinl(tfracpi2xr), f''(x)=-l(tfracpi2r)^2cosl(tfracpi2xr)
Em x=1:
f(1)=cosl(tfracpi2r)=0, f'(1)=-tfracpi2sinl(tfracpi2r)=-tfracpi2, f''(1)=-tfracpi^24cosl(tfracpi2r)=0

Passo 5

Pela fórmula do cálculo funcional,
cosl(-tfracpi2Ar) =sumk=0^2f^(k)(1)k!N^k =f(1)I + f'(1),N + tfracf''(1)2N^2 =0cdot I +l(-tfracpi2r)N+0cdot N^2 =-tfracpi2N

Passo 6

Como N=A-I, temos
cosl(-tfracpi2Ar) =-tfracpi2(A-I) =-tfracpi2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 = 0 & -tfracpi2 & -pi 0 & 0 & -tfrac3pi2 0 & 0 & 0

Resposta

cosl(-tfracpi2Ar) = 0 & -tfracpi2 & -pi 0 & 0 & -tfrac3pi2 0 & 0 & 0

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