Considere o operador A cuja matriz é:
Use o cálculo funcional para obter:
cos (-pi2 A)
Passo 1
O enunciado dá a matriz de um operador
A em
R^3 :
e pede para calcular
cosl(-tfracpi2Ar) .
O conteúdo envolve o cálculo funcional de uma função analítica (aquicos ) aplicada a uma matriz triangular.
O conteúdo envolve o cálculo funcional de uma função analítica (aqui
Passo 2
Note que
A é triangular superior com autovalor
lambda=1 de multiplicidade 3. Podemos escrever
onde
é nilpotente de ordem 3 (
N^3=0 ).
Passo 3
Para uma função analítica
f em torno de
lambda , vale
onde
m é tal que
N^m=0 . Aqui
m=3 . Como
cos é função par,
então basta usar
f(x)=cosl(tfracpi2xr) em
lambda=1 .
Passo 4
Calculemos as derivadas de
f(x) em
x=1 :
Em
x=1 :
Passo 5
Pela fórmula do cálculo funcional,
Passo 6
Como
N=A-I , temos