Considere V=Pn(R), com n >= 1 e determine quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de V.
W=p in V mid p(0)=0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=Pn(R) (polinômios de grau no máximo n) e o subconjunto
W = ,pin V mid p(0)=0
Para mostrar que W é subespaço de V, precisamos verificar três propriedades:
  1. 0Vin W.
  2. Fechamento em relação à soma.
  3. Fechamento em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a existência do vetor zero: o polinômio zero p(x)=0 está em V e satisfaz
p(0)=0,
logo 0Vin W.

Passo 3

Verificamos fechamento na soma. Sejam p,qin W. Então
p(0)=0 e q(0)=0
Logo
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0,
portanto p+qin W.

Passo 4

Verificamos fechamento na multiplicação por escalar. Se pin W e alphainR, então
p(0)=0
implica
(alpha p)(0)=alpha,p(0)=alphacdot 0=0,
logo alpha pin W.

Resposta

W é subespaço de V.

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