Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
sen(-pi2 A)

Passo 1

O enunciado pede para calcular senl(-tfracpi2Ar) onde
A= 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
O conteúdo é cálculo funcional em matrizes não diagonais, usando a decomposição A=I+N com N nilpotente e a fórmula de Taylor de uma função f em torno do ponto 1.

Passo 2

Escrevemos
A = I + N,
onde
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Como N é estritamente triangular superior de ordem 3, temos N^3=0. Calculamos
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 3

Para uma função f suficientemente suave, vale o teorema de cálculo funcional em Jordan block:
f(I+N) ;=;sumk=0^2f^(k)(1)k!,N^k,
pois N^3=0.

Passo 4

Tomamos f(x)=senl(-tfracpi2xr). Então:
f(1)=senl(-tfracpi2r)=-1,
f'(x)=-tfracpi2cosl(-tfracpi2xr) =-tfracpi2cosl(tfracpi2xr) Longrightarrow f'(1)=-tfracpi2cosl(tfracpi2r)=0,
f''(x) =ddxl(-tfracpi2cosl(tfracpi2xr)r) =pi^24senl(tfracpi2xr) Longrightarrow f''(1)=pi^24senl(tfracpi2r)=pi^24

Passo 5

Aplicando a fórmula de Taylor:
senl(-tfracpi2Ar) =f(I+N) =f(1)I + f'(1)N + f''(1)2N^2 =-,I ;+;0cdot N ;+;pi^2/42,N^2 =-I + pi^28,N^2

Passo 6

Substituindo N^2:
pi^28,N^2 =pi^28 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & tfrac3pi^28 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
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senl(-tfracpi2Ar) =,-I ;+;pi^28N^2 = -1 & 0 & tfrac3pi^28 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

senl(-tfracpi2Ar) = -1 & 0 & tfrac3pi^28 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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