Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
sen(-3 pi2 A)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz triangular superior
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
e pede senl(-tfrac3pi2Ar). Vamos usar o cálculo funcional: para uma função analítica f e uma matriz A=I+N com N nilpotente de ordem m, valem
f(A)=sumk=0^m-1f^(k)(1)k!,N^k
Aqui f(t)=senl(-tfrac3pi2tr) e N=A-I é nilpotente de ordem 3.

Passo 2

Definimos
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Calculamos
N^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , N^3 = 0

Passo 3

Pela fórmula do cálculo funcional com m=3,
senl(-tfrac3pi2Ar) = f(A) = f(1)I + f'(1),N + f''(1)2,N^2
Falta achar f(1), f'(1) e f''(1).

Passo 4

Como f(t)=sen(k,t) com k=-tfrac3pi2, temos
f(1)=senl(-tfrac3pi2r)=1,
f'(t)=kcos(k,t);Longrightarrow;f'(1) =l(-tfrac3pi2r)cosl(-tfrac3pi2r)=0,
f''(t)=-k^2sen(k,t);Longrightarrow;f''(1) = -l(tfrac9pi^24r)senl(-tfrac3pi2r) = -tfrac9pi^24times(-1) = tfrac9pi^24
Então
f''(1)2 = 9pi^28

Passo 5

Substituindo na série:
senl(-tfrac3pi2Ar) = 1cdot I + 0cdot N + tfrac9pi^28,N^2 = I + tfrac9pi^280&0&30&0&00&0&0 = 1 & 0 & tfrac27pi^28 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

senl(-tfrac3pi2Ar) = 1 & 0 & tfrac27pi^28 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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