Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
e^3 pi2 A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz exponencial
e^3pi2A,
onde
A= 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
O conteúdo envolvido é cálculo funcional de matrizes, em particular o uso da série de Taylor para a exponencial de um operador triangular.

Passo 2

Note que A pode ser decomposta como
A = I + N,
onde
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Como N é estritamente triangular superior de ordem 3, temos N^3=0. Então
e^tA = e^t(I+N) = e^tI,e^tN = e^t,e^tN

Passo 3

Vamos calcular N^2 e verificar N^3=0:
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
e evidentemente N^3= N^2cdot N=0.

Passo 4

Como N^3=0, a série de Taylor truncada dá
e^tN = I + tN + t^22!N^2
Logo
e^tA = e^tl(I + tN + tfract^22N^2r)

Passo 5

Substituindo t = tfrac3pi2 e executando a soma de matrizes,
I + tN + tfract^22N^2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + 3pi2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 + 12l(3pi2r)^!2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
o que resulta em
1 & 3pi2 & 2cdot3pi2 + 3cdot(3pi/2)^22 0 & 1 & 3cdot3pi2 0 & 0 & 1 = 1 & 3pi2 & 3pi + 27pi^28 0 & 1 & 9pi2 0 & 0 & 1

Resposta

e^3pi2A = e^3pi2 1 & tfrac3pi2 & 3pi + tfrac27pi^28 0 & 1 & tfrac9pi2 0 & 0 & 1

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