Considere o operador A cuja matriz é:
Use o cálculo funcional para obter:
sen(5 pi2 A)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
O conteúdo é cálculo funcional para matriz triangular: como todas as entradas diagonais são iguais a
1 , podemos escrever
onde
N é nilpotente (isto é,
N^k=0 para
k grande o bastante). Vamos usar a expansão em série de Taylor de
sin em torno de
1 ,
cortando a série em
k=2 porque
N^3=0 .
Passo 2
Identificamos
Calculamos potências de
N :
Passo 3
Definimos a função
Precisamos de
f(1) ,
f'(1) e
f''(1) :
Passo 4
Pela fórmula de cálculo funcional para matriz
I+N com
N^3=0 , temos
Substituindo os valores:
Passo 5
Basta agora multiplicar
N^2 pelo escalar:
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