Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
sen(5 pi2 A)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
sin!l(tfrac5pi2Ar)
onde
A= 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
O conteúdo é cálculo funcional para matriz triangular: como todas as entradas diagonais são iguais a 1, podemos escrever
A = I + N,
onde N é nilpotente (isto é, N^k=0 para k grande o bastante). Vamos usar a expansão em série de Taylor de sin em torno de 1,
sinl(tfrac5pi2(I+N)r) =sumk=0^inftysin^(k)(tfrac5pi2cdot1)k!,N^k,
cortando a série em k=2 porque N^3=0.

Passo 2

Identificamos
N = A - I =0&1&20&0&30&0&0
Calculamos potências de N:
N^2 =0&0&30&0&00&0&0, N^3=0

Passo 3

Definimos a função
f(lambda)=sin!l(tfrac5pi2lambdar)
Precisamos de f(1), f'(1) e f''(1):
f(1)=sin!l(tfrac5pi2r)=1,
f'(lambda)=tfrac5pi2cos!l(tfrac5pi2lambdar) ;Longrightarrow; f'(1)=tfrac5pi2cos!l(tfrac5pi2r)=0,
f''(lambda)=-l(tfrac5pi2r)^2sin!l(tfrac5pi2lambdar) ;Longrightarrow; f''(1)=-l(tfrac5pi2r)^2cdot1 =-25pi^24

Passo 4

Pela fórmula de cálculo funcional para matriz I+N com N^3=0, temos
sin!l(tfrac5pi2Ar) =f(A) =f(1),I+f'(1)1!N+f''(1)2!N^2
Substituindo os valores:
sin!l(tfrac5pi2Ar) =1cdot I +0cdot N +-tfrac25pi^242;N^2 =I-25pi^28,N^2

Passo 5

Basta agora multiplicar N^2 pelo escalar:
-25pi^28,N^2 =-25pi^28 0&0&30&0&00&0&0 = 0&0&-tfrac75pi^28 0&0&0 0&0&0
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sin!l(tfrac5pi2Ar) = 1&0&0 0&1&0 0&0&1 + 0&0&-tfrac75pi^28 0&0&0 0&0&0 = 1 & 0 & -tfrac75pi^28 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

sin!l(tfrac5pi2Ar) = 1 & 0 & -tfrac75pi^28 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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