Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
cos (-5 pi2 A)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
e pede cosl(-tfrac5pi2Ar). Vamos usar cálculo funcional via série de Taylor de g(x)=cos(alpha x) em A, com alpha=-tfrac5pi2. Como A é triangular com único autovalor 1, escrevemos A=I+N com N nilpotente de ordem 3.

Passo 2

Definimos
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Calculamos
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
e observamos que N^3=0.

Passo 3

Para uma função analítica g e A=1cdot I+N com N^3=0, vale a fórmula
g(A) = sumk=0^2 g^(k)(1)k!,N^k
Aqui g(x)=cos(alpha x) com alpha=-tfrac5pi2.

Passo 4

Calculamos as derivadas em x=1:
g(1)=cosl(alphacdot1r) =cosl(-tfrac5pi2r)=0,
g'(x)=-alphasin(alpha x) ;Longrightarrow; g'(1) =-l(-tfrac5pi2r)sinl(-tfrac5pi2r) =5pi2,(-1) =-5pi2,
g''(x)=-alpha^2cos(alpha x) ;Longrightarrow; g''(1)=-alpha^2cosl(-tfrac5pi2r)=0

Passo 5

Pelo passo anterior,
cosl(-tfrac5pi2Ar) = g(A) = g(1)I + g'(1)N + g''(1)2N^2 = -5pi2,N
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cosl(-tfrac5pi2Ar) = -5pi2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 = 0 & -tfrac5pi2 & -5pi 0 & 0 & -tfrac15pi2 0 & 0 & 0

Resposta

cosl(-tfrac5pi2Ar) = 0 & -tfrac5pi2 & -5pi 0 & 0 & -tfrac15pi2 0 & 0 & 0

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