Considere um operador
tal que
.
(a) Avalie os comutadores
e
.
(b) Se as ações de
e
nos estados
são dadas por
e
e se
, calcule
e
e
.
(c) Calcule
e
.
(a) Avalie os comutadores
(b) Se as ações de
(c) Calcule
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede — vou listar TUDO claramente.
- Foi dado o comutador entre os operadores
e :
- Foram definidas as ações de
e sobre os estados :
- Os estados são ortonormais:
Perguntas pedidas:
(a) Calcular os comutadores e
.
(b) Calcular .
(c) Calcular e
.
(a) Calcular os comutadores
(b) Calcular
(c) Calcular
Passo 2
Noção e identidades úteis sobre comutadores (mini-aula rápida e prática).
- Definição: para quaisquer operadores
,
- Identidade prática que vamos usar (distribuição do comutador sobre produto):
Essa identidade é obtida expandindo
e reagrupando termos. É útil porque nos permite reduzir comutadores de produtos a comutadores mais simples.
Passo 3
Cálculo do comutador
(aplicando a identidade do Passo 2).
- Use a identidade com
, , :
- Observação:
(qualquer operador com ele mesmo comuta). Assim o primeiro termo some. - Precisamos de
. Pela antissimetria do comutador,
- Substituindo:
Portanto o primeiro comutador é
. (Intuição:
atua como operador número e abaixa o modo por uma unidade quando comutado com
.)
Passo 4
Cálculo do comutador
.
- Use a identidade com
, , :
- Novamente
. E pelo enunciado. - Logo
Então o segundo comutador é
.
Passo 5
Agora calculamos os elementos de matriz pedidos em (b). Vou lembrar a ideia: se
, então
, e por ortonormalidade isso é zero a menos que
.
- Calcular
.
- Aplicando
ao ket :
- Então
- Calcular
.
- Aplicando
ao ket :
- Então
- Calcular
.
- Primeiro aplicar
em :
- Depois aplicar
:
- Então
, e portanto
(Comentário: isso mostra que
é o operador número com autovalor
no estado
.)
- Calcular
.
- Primeiro aplicar
em :
- Depois aplicar
:
- Logo
e
Passo 6
Agora (c): calcular
e
. Expanda os quadrados e use os resultados do Passo 5 junto com a ortonormalidade para ver quais termos sobrevivem.
- Expansão:
- Observação:
envolve com (pois ), então por ortonormalidade é zero. Analogamente . Assim só restam os termos e . - Portanto
- Para o outro:
- Novamente
. Logo
(Dica de interpretação: o operador
é hermitiano e tem variância positiva;
é anti-hermitiano e por isso seu quadrado tem valor negativo nos autovalores mostrados.)