Considere um operador \hat{A} tal que \left[\hat{A}, \hat{A}^{\dagger}\right]=1.
(a) Avalie os comutadores \left[\hat{A}^{\dagger} \hat{A}, \hat{A}\right] e \left[\hat{A}^{\dagger} \hat{A}, \hat{A}^{\dagger}\right].
(b) Se as ações de \hat{A} e \hat{A}^{\dagger} nos estados \{|a\rangle\} são dadas por \hat{A}|a\rangle=\sqrt{a}|a-1\rangle e \hat{A}^{\dagger}|a\rangle= \sqrt{a+1}|a+1\rangle e se \left\langle a^{\prime} \mid a\right\rangle=\delta_{a^{\prime} a}, calcule \langle a| \hat{A}|a+1\rangle,\langle a+1| \hat{A}^{\dagger}|a\rangle e \langle a| \hat{A}^{\dagger} \hat{A}|a\rangle e \langle a| \hat{A} \hat{A}^{\dagger}|a\rangle.
(c) Calcule \langle a|\left(\hat{A}+\hat{A}^{\dagger}\right)^{2}|a\rangle e \langle a|\left(\hat{A}-\hat{A}^{\dagger}\right)^{2}|a\rangle.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede — vou listar TUDO claramente.
  • Foi dado o comutador entre os operadores \hat{A} e \hat{A}^{\dagger}:
\left[\hat{A},\hat{A}^{\dagger}\right]=1.
  • Foram definidas as ações de \hat{A} e \hat{A}^{\dagger} sobre os estados \{|a\rangle\}:
\hat{A}|a\rangle=\sqrt{a}\,|a-1\rangle,\qquad \hat{A}^{\dagger}|a\rangle=\sqrt{a+1}\,|a+1\rangle.
  • Os estados são ortonormais:
\langle a'|a\rangle=\delta_{a'a}.
Perguntas pedidas:
(a) Calcular os comutadores \left[\hat{A}^{\dagger}\hat{A},\hat{A}\right] e \left[\hat{A}^{\dagger}\hat{A},\hat{A}^{\dagger}\right].
(b) Calcular \langle a|\hat{A}|a+1\rangle,\\ \langle a+1|\hat{A}^{\dagger}|a\rangle,\\ \langle a|\hat{A}^{\dagger}\hat{A}|a\rangle,\\ \langle a|\hat{A}\hat{A}^{\dagger}|a\rangle.
(c) Calcular \langle a|(\hat{A}+\hat{A}^{\dagger})^{2}|a\rangle e \langle a|(\hat{A}-\hat{A}^{\dagger})^{2}|a\rangle.

Passo 2

Noção e identidades úteis sobre comutadores (mini-aula rápida e prática).
  • Definição: para quaisquer operadores \hat{X},\hat{Y},
\left[\hat{X},\hat{Y}\right]=\hat{X}\hat{Y}-\hat{Y}\hat{X}.
  • Identidade prática que vamos usar (distribuição do comutador sobre produto):
\left[\hat{B}\hat{C},\hat{D}\right]=\hat{B}\left[\hat{C},\hat{D}\right]+\left[\hat{B},\hat{D}\right]\hat{C}.
Essa identidade é obtida expandindo \hat{B}\hat{C}\hat{D}-\hat{D}\hat{B}\hat{C} e reagrupando termos. É útil porque nos permite reduzir comutadores de produtos a comutadores mais simples.

Passo 3

Cálculo do comutador \left[\hat{A}^{\dagger}\hat{A},\hat{A}\right] (aplicando a identidade do Passo 2).
  • Use a identidade com \hat{B}=\hat{A}^{\dagger}, \hat{C}=\hat{A}, \hat{D}=\hat{A}:
\left[\hat{A}^{\dagger}\hat{A},\hat{A}\right]=\hat{A}^{\dagger}\left[\hat{A},\hat{A}\right]+\left[\hat{A}^{\dagger},\hat{A}\right]\hat{A}.
  • Observação: \left[\hat{A},\hat{A}\right]=0 (qualquer operador com ele mesmo comuta). Assim o primeiro termo some.
  • Precisamos de \left[\hat{A}^{\dagger},\hat{A}\right]. Pela antissimetria do comutador,
\left[\hat{A}^{\dagger},\hat{A}\right]= -\left[\hat{A},\hat{A}^{\dagger}\right]= -1.
  • Substituindo:
\left[\hat{A}^{\dagger}\hat{A},\hat{A}\right]=(-1)\,\hat{A} = -\hat{A}.
Portanto o primeiro comutador é -\hat{A}. (Intuição: \hat{A}^{\dagger}\hat{A} atua como operador número e abaixa o modo por uma unidade quando comutado com \hat{A}.)

Passo 4

Cálculo do comutador \left[\hat{A}^{\dagger}\hat{A},\hat{A}^{\dagger}\right].
  • Use a identidade com \hat{B}=\hat{A}^{\dagger}, \hat{C}=\hat{A}, \hat{D}=\hat{A}^{\dagger}:
\left[\hat{A}^{\dagger}\hat{A},\hat{A}^{\dagger}\right]=\hat{A}^{\dagger}\left[\hat{A},\hat{A}^{\dagger}\right]+\left[\hat{A}^{\dagger},\hat{A}^{\dagger}\right]\hat{A}.
  • Novamente \left[\hat{A}^{\dagger},\hat{A}^{\dagger}\right]=0. E \left[\hat{A},\hat{A}^{\dagger}\right]=1 pelo enunciado.
  • Logo
\left[\hat{A}^{\dagger}\hat{A},\hat{A}^{\dagger}\right]=\hat{A}^{\dagger}\cdot 1 = \hat{A}^{\dagger}.
Então o segundo comutador é \hat{A}^{\dagger}.

Passo 5

Agora calculamos os elementos de matriz pedidos em (b). Vou lembrar a ideia: se \hat{O}|b\rangle = \text{(coef)}\,|c\rangle, então \langle a|\hat{O}|b\rangle=\text{(coef)}\,\langle a|c\rangle, e por ortonormalidade isso é zero a menos que a=c.
  1. Calcular \langle a|\hat{A}|a+1\rangle.
  • Aplicando \hat{A} ao ket |a+1\rangle:
\hat{A}|a+1\rangle=\sqrt{a+1}\,|a\rangle.
  • Então
\langle a|\hat{A}|a+1\rangle=\sqrt{a+1}\,\langle a|a\rangle=\sqrt{a+1}\cdot 1=\sqrt{a+1}.
  1. Calcular \langle a+1|\hat{A}^{\dagger}|a\rangle.
  • Aplicando \hat{A}^{\dagger} ao ket |a\rangle:
\hat{A}^{\dagger}|a\rangle=\sqrt{a+1}\,|a+1\rangle.
  • Então
\langle a+1|\hat{A}^{\dagger}|a\rangle=\sqrt{a+1}\,\langle a+1|a+1\rangle=\sqrt{a+1}.
  1. Calcular \langle a|\hat{A}^{\dagger}\hat{A}|a\rangle.
  • Primeiro aplicar \hat{A} em |a\rangle:
\hat{A}|a\rangle=\sqrt{a}\,|a-1\rangle.
  • Depois aplicar \hat{A}^{\dagger}:
\hat{A}^{\dagger}\big(\sqrt{a}\,|a-1\rangle\big)=\sqrt{a}\,\hat{A}^{\dagger}|a-1\rangle=\sqrt{a}\sqrt{(a-1)+1}\,|a\rangle=\sqrt{a}\sqrt{a}\,|a\rangle=a\,|a\rangle.
  • Então \hat{A}^{\dagger}\hat{A}|a\rangle=a\,|a\rangle, e portanto
\langle a|\hat{A}^{\dagger}\hat{A}|a\rangle=a.
(Comentário: isso mostra que \hat{N}=\hat{A}^{\dagger}\hat{A} é o operador número com autovalor a no estado |a\rangle.)
  1. Calcular \langle a|\hat{A}\hat{A}^{\dagger}|a\rangle.
  • Primeiro aplicar \hat{A}^{\dagger} em |a\rangle:
\hat{A}^{\dagger}|a\rangle=\sqrt{a+1}\,|a+1\rangle.
  • Depois aplicar \hat{A}:
\hat{A}\big(\sqrt{a+1}\,|a+1\rangle\big)=\sqrt{a+1}\,\hat{A}|a+1\rangle=\sqrt{a+1}\sqrt{a+1}\,|a\rangle=(a+1)\,|a\rangle.
  • Logo \hat{A}\hat{A}^{\dagger}|a\rangle=(a+1)\,|a\rangle e
\langle a|\hat{A}\hat{A}^{\dagger}|a\rangle=a+1.

Passo 6

Agora (c): calcular \langle a|(\hat{A}+\hat{A}^{\dagger})^{2}|a\rangle e \langle a|(\hat{A}-\hat{A}^{\dagger})^{2}|a\rangle. Expanda os quadrados e use os resultados do Passo 5 junto com a ortonormalidade para ver quais termos sobrevivem.
  • Expansão:
(\hat{A}+\hat{A}^{\dagger})^{2}=\hat{A}^{2}+\hat{A}\hat{A}^{\dagger}+\hat{A}^{\dagger}\hat{A}+(\hat{A}^{\dagger})^{2}.
  • Observação: \langle a|\hat{A}^{2}|a\rangle envolve \langle a| com |a-2\rangle (pois \hat{A}^{2}|a\rangle\propto|a-2\rangle), então por ortonormalidade é zero. Analogamente \langle a|(\hat{A}^{\dagger})^{2}|a\rangle=0. Assim só restam os termos \hat{A}\hat{A}^{\dagger} e \hat{A}^{\dagger}\hat{A}.
  • Portanto
\langle a|(\hat{A}+\hat{A}^{\dagger})^{2}|a\rangle=\langle a|\hat{A}\hat{A}^{\dagger}|a\rangle+\langle a|\hat{A}^{\dagger}\hat{A}|a\rangle=(a+1)+a=2a+1.
  • Para o outro:
(\hat{A}-\hat{A}^{\dagger})^{2}=\hat{A}^{2}-\hat{A}\hat{A}^{\dagger}-\hat{A}^{\dagger}\hat{A}+(\hat{A}^{\dagger})^{2}.
  • Novamente \langle a|\hat{A}^{2}|a\rangle=\langle a|(\hat{A}^{\dagger})^{2}|a\rangle=0. Logo
\langle a|(\hat{A}-\hat{A}^{\dagger})^{2}|a\rangle=-\langle a|\hat{A}\hat{A}^{\dagger}|a\rangle-\langle a|\hat{A}^{\dagger}\hat{A}|a\rangle=-(a+1)-a=-(2a+1).
(Dica de interpretação: o operador \hat{A}+\hat{A}^{\dagger} é hermitiano e tem variância positiva; \hat{A}-\hat{A}^{\dagger} é anti-hermitiano e por isso seu quadrado tem valor negativo nos autovalores mostrados.)

Resposta

\left[\hat{A}^{\dagger}\hat{A},\hat{A}\right]=-\,\hat{A}
\left[\hat{A}^{\dagger}\hat{A},\hat{A}^{\dagger}\right]=\hat{A}^{\dagger}
\langle a|\hat{A}|a+1\rangle=\sqrt{a+1}
\langle a+1|\hat{A}^{\dagger}|a\rangle=\sqrt{a+1}
\langle a|\hat{A}^{\dagger}\hat{A}|a\rangle=a
\langle a|\hat{A}\hat{A}^{\dagger}|a\rangle=a+1
\langle a|(\hat{A}+\hat{A}^{\dagger})^{2}|a\rangle=2a+1
\langle a|(\hat{A}-\hat{A}^{\dagger})^{2}|a\rangle=-(2a+1)

Exercícios relacionados