(a) \hat{A} e \hat{B} são Hermitianos?
(b) \hat{A} e \hat{B} comutam?
(c) Encontre os autovalores e autovetores de \hat{A} e \hat{B}.
(d) Os autovetores de cada operador são ortonormais?
(e) Verifique que \hat{U}^{\dagger} \hat{B} \hat{U} é diagonal, sendo \hat{U} a matriz dos autovetores normalizados de \hat{B}.
(f) Verifique que \hat{U}^{-1}=\hat{U}^{\dagger}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
Dado: as matrizes (matrizes reais 3\times3 que representam \hat{A} e \hat{B}):
O enunciado pede:
(a) verificar se \hat{A} e \hat{B} são hermitianos;
(b) verificar se \hat{A} e \hat{B} comutam;
(c) encontrar autovalores e autovetores de \hat{A} e de \hat{B};
(d) dizer se os autovetores de cada operador são ortonormais;
(e) verificar que \hat{U}^{\dagger}\hat{B}\hat{U} é diagonal, onde \hat{U} é a matriz cujas colunas são os autovetores normalizados de \hat{B};
(f) verificar que \hat{U}^{-1}=\hat{U}^{\dagger}.
Não começo a resolver aqui; só deixei claro os dados e perguntas para não nos perder.]
Passo 2
(a) O que significa “hermitiano” e como testar.
Definição prática: uma matriz M é hermitiana se M^{\dagger}=M, onde M^{\dagger} é a conjugada transposta. Para matrizes com entradas reais isso equivale a M^{T}=M (simetria).
Logo os autovalores dessa submatriz são as raízes de \lambda^2-5\lambda=0, ou seja \lambda=0 e \lambda=5. Como o elemento central dá outro zero, o polinômio característico total de B é \lambda^2(\lambda-5). Portanto os autovalores de B são:
Para \lambda=5: resolvemos (B-5I)\mathbf{v}=0. Tomando componentes \mathbf{v}=(x,y,z)^{T} e olhando o sistema reduzido ao bloco 1,3 obtemos relação z=-2x e y=0. Uma escolha conveniente é
Para \lambda=0: resolvemos B\mathbf{v}=0. As equações dão x-2z=0 (ou x=2z) e nenhuma restrição sobre y. Logo uma base do subespaço nulo é dada por, por exemplo,
Normas: \|\mathbf{v}_{0}^{(1)}\|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}, \|\mathbf{v}_{0}^{(2)}\|=1. Observe que \mathbf{v}_{0}^{(1)} e \mathbf{v}_{0}^{(2)} são ortogonais entre si e também ortogonais a \mathbf{v}_{5}. Portanto autovetores normalizados:
Para \lambda=-1: A+I=\begin{pmatrix}2&3&0\\[4pt]1&1&1\\[4pt]0&-1&2\end{pmatrix}.
Resolvendo obtemos x=-\tfrac{3}{2}y e z=\tfrac{1}{2}y. Tomando y=2 para evitar frações:
Cada \mathbf{u}_{i} tem norma 1 por construção. Portanto os autovetores de B podem ser escolhidos ortonormais — isto é típico de matrizes hermitianas: existe uma base de autovetores ortonormais.
Verificação para \hat{A}:
Tomei os autovetores (não normalizados) \mathbf{v}^{(1)}=(-1,0,1), \mathbf{v}^{(2)}=(3,1,-1), \mathbf{v}^{(3)}=(-3,2,1).
Calcule um produto interno qualquer, por exemplo
Logo NÃO são mutuamente ortogonais. De fato \hat{A} não é hermitiano nem normal, então seus autovetores não garantidamente formam uma base ortonormal. Resumo:
Para \hat{B}: sim, pode-se escolher autovetores ortonormais.
Para \hat{A}: não, os autovetores obtidos não são ortogonais e portanto não são ortonormais sem um processo mais fino (e mesmo assim, por não ser normal, não existe garantia de uma base ortonormal de autovetores).]
Passo 7
(e) Verificar que \hat{U}^{\dagger}\hat{B}\hat{U} é diagonal, com \hat{U} matriz dos autovetores normalizados de B.
Definimos \hat{U} como a matriz cujas colunas são os vetores ortonormais \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3} obtidos antes:
Observação teórica (fórmula útil): se as colunas de U são autovetores normalizados de B, ou seja B\mathbf{u}_{j}=\lambda_{j}\mathbf{u}_{j} e \mathbf{u}_{i}^{\dagger}\mathbf{u}_{j}=\delta_{ij}, então os elementos da matriz D=U^{\dagger}BU são
Isto mostra que D é diagonal com entradas diagonais \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}. No nosso caso os autovalores correspondentes nas colunas escolhidas são \{5,0,0\}, logo
U^{\dagger}BU=\operatorname{diag}(5,0,0).
Se quiser checagem explícita por multiplicação de matrizes, cada coluna j de BU é \lambda_{j}\mathbf{u}_{j}, e multiplicando à esquerda por U^{\dagger} pega-se o produto interno com cada \mathbf{u}_{i}, anulando as entradas fora da diagonal. Então está verificado que a matriz é diagonal.]
Passo 8
(f) Verificar que \hat{U}^{-1}=\hat{U}^{\dagger}.
Observação: uma matriz U cujas colunas formam um conjunto ortonormal tem a propriedade U^{\dagger}U=I. Isto implica que U^{\dagger} é a inversa à direita de U. Como U é quadrada, isso também garante inversa à esquerda, portanto U^{-1}=U^{\dagger}.
No nosso caso explicitamente U tem colunas ortonormais (ver passo anterior), logo
(d) Para \hat{B}: sim, os autovetores podem ser escolhidos ortonormais (mostrados acima). Para \hat{A}: não, os autovetores não são mutuamente ortogonais (portanto não ortonormais).
(e) Com a matriz U cujas colunas são \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3} definidas acima, tem-se \displaystyle U^{\dagger}BU=\operatorname{diag}(5,0,0) (matriz diagonal).
(f) Como as colunas de U são ortonormais, U^{\dagger}U=I e portanto U^{-1}=U^{\dagger}.]