Considere dois operadores \hat{A} e \hat{B} cujas matrizes são
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ -2 & 0 & 4 \end{array}\right)
(a) \hat{A} e \hat{B} são Hermitianos?
(b) \hat{A} e \hat{B} comutam?
(c) Encontre os autovalores e autovetores de \hat{A} e \hat{B}.
(d) Os autovetores de cada operador são ortonormais?
(e) Verifique que \hat{U}^{\dagger} \hat{B} \hat{U} é diagonal, sendo \hat{U} a matriz dos autovetores normalizados de \hat{B}.
(f) Verifique que \hat{U}^{-1}=\hat{U}^{\dagger}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
Dado: as matrizes (matrizes reais 3\times3 que representam \hat{A} e \hat{B}):
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
O enunciado pede:
(a) verificar se \hat{A} e \hat{B} são hermitianos;
(b) verificar se \hat{A} e \hat{B} comutam;
(c) encontrar autovalores e autovetores de \hat{A} e de \hat{B};
(d) dizer se os autovetores de cada operador são ortonormais;
(e) verificar que \hat{U}^{\dagger}\hat{B}\hat{U} é diagonal, onde \hat{U} é a matriz cujas colunas são os autovetores normalizados de \hat{B};
(f) verificar que \hat{U}^{-1}=\hat{U}^{\dagger}.
Não começo a resolver aqui; só deixei claro os dados e perguntas para não nos perder.]

Passo 2

(a) O que significa “hermitiano” e como testar.
  • Definição prática: uma matriz M é hermitiana se M^{\dagger}=M, onde M^{\dagger} é a conjugada transposta. Para matrizes com entradas reais isso equivale a M^{T}=M (simetria).
  • Vou verificar para A e para B.
Calcule a transposta de A:
A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Comparando \,A^{T} com A vemos que as posições fora da diagonal não coincidem ( A_{12}=3 enquanto A^{T}_{12}=1, por exemplo). Logo
A^{\dagger}=A^{T}\neq A,
portanto \hat{A} não é hermitiano.
Agora para B:
B^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}=B.
Portanto B^{\dagger}=B e \hat{B} é hermitiano.]

Passo 3

(b) O que significa “comutam” e como testar.
  • Definição prática: dois operadores (ou matrizes) A e B comutam se AB=BA.
  • Vou calcular AB e BA explicitamente e comparar.
Calcule AB:
AB= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 0 & 2\\[4pt] -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Calcule BA:
BA= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] -2 & -10 & 4 \end{pmatrix}.
Comparando AB e BA vemos diferenças (por exemplo, (AB)_{12}=0 enquanto (BA)_{12}=5). Logo AB\neq BA e \hat{A} e \hat{B} não comutam.]

Passo 4

(c) Autovalores e autovetores de \hat{B} (faço primeiro porque é mais simples).
Observação: a segunda linha e coluna de B são zeros exceto a posição diagonal B_{22}=0, e a submatriz envolvendo índices 1 e 3 é
M=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-2 & 4\end{pmatrix}.
O polinômio característico de M é
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[4pt]-2 & 4-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(4-\lambda)-(-2)(-2)=(1-\lambda)(4-\lambda)-4.
Expandindo:
(1-\lambda)(4-\lambda)-4=\lambda^2-5\lambda.
Logo os autovalores dessa submatriz são as raízes de \lambda^2-5\lambda=0, ou seja \lambda=0 e \lambda=5. Como o elemento central dá outro zero, o polinômio característico total de B é \lambda^2(\lambda-5). Portanto os autovalores de B são:
\lambda=5\quad\text{e}\quad \lambda=0\\ (\text{multiplicidade }2).
Agora os autovetores:
  • Para \lambda=5: resolvemos (B-5I)\mathbf{v}=0. Tomando componentes \mathbf{v}=(x,y,z)^{T} e olhando o sistema reduzido ao bloco 1,3 obtemos relação z=-2x e y=0. Uma escolha conveniente é
\mathbf{v}_{5}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Norma: \|\mathbf{v}_{5}\|=\sqrt{1^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{5}. Autovetor normalizado:
\mathbf{u}_{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
  • Para \lambda=0: resolvemos B\mathbf{v}=0. As equações dão x-2z=0 (ou x=2z) e nenhuma restrição sobre y. Logo uma base do subespaço nulo é dada por, por exemplo,
\mathbf{v}_{0}^{(1)}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_{0}^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Normas: \|\mathbf{v}_{0}^{(1)}\|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}, \|\mathbf{v}_{0}^{(2)}\|=1. Observe que \mathbf{v}_{0}^{(1)} e \mathbf{v}_{0}^{(2)} são ortogonais entre si e também ortogonais a \mathbf{v}_{5}. Portanto autovetores normalizados:
\mathbf{u}_{0}^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}_{0}^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Resumo para \hat{B}:
  • Autovalores: \lambda=5,0,0.
  • Autovetores (normalizados) correspondentes:
\mathbf{u}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-2\end{pmatrix}\\ \\ (\text{para }\lambda=5),\qquad \mathbf{u}_{2}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}_{3}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\\ \\ (\text{para }\lambda=0).]

Passo 5

(c) Autovalores e autovetores de \hat{A}.
Calculo do polinômio característico \det(A-\lambda I).
A-\lambda I= \begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 & 0\\[4pt] 1 & -\lambda & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Determinante (expansão por primeira linha):
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]-1 & 1-\lambda\end{pmatrix} -3\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule as partes:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]-1 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(-\lambda)(1-\lambda)-(-1)(1)=\lambda^2-\lambda+1,
e
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=1(1-\lambda)-0=1-\lambda.
Assim
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-\lambda+1)-3(1-\lambda)=(1-\lambda)(\lambda^2-\lambda+1-3).
Simplificando:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2)=(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1).
Portanto os autovalores são as raízes:
\lambda=1,\quad \lambda=2,\quad \lambda=-1.
Agora os autovetores, resolvendo (A-\lambda I)\mathbf{v}=0 para cada \lambda.
  • Para \lambda=1: A-I=\begin{pmatrix}0&3&0\\[4pt]1&-1&1\\[4pt]0&-1&0\end{pmatrix}.
    Equações:
3y=0\Rightarrow y=0, \qquad x+z=0\Rightarrow x=-z.
Tomando z=1 obtemos autovetor
\mathbf{v}^{(1)}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Norma \sqrt{2}. (pode ser normalizado se desejar: \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)^{T}).
  • Para \lambda=2: A-2I=\begin{pmatrix}-1&3&0\\[4pt]1&-2&1\\[4pt]0&-1&-1\end{pmatrix}.
    Equações reduzem a x=3y e z=-y. Tomando y=1:
\mathbf{v}^{(2)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Norma \sqrt{3^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{11}.
  • Para \lambda=-1: A+I=\begin{pmatrix}2&3&0\\[4pt]1&1&1\\[4pt]0&-1&2\end{pmatrix}.
    Resolvendo obtemos x=-\tfrac{3}{2}y e z=\tfrac{1}{2}y. Tomando y=2 para evitar frações:
\mathbf{v}^{(3)}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Norma \sqrt{(-3)^2+2^2+1^2}=\sqrt{14}.
Resumo para \hat{A}:
  • Autovalores: \lambda=1,\,2,\,-1.
  • Autovetores (não normalizados): \mathbf{v}^{(1)}=(-1,0,1)^{T}, \mathbf{v}^{(2)}=(3,1,-1)^{T}, \mathbf{v}^{(3)}=(-3,2,1)^{T}.
  • Pode-se normalizar cada um dividindo pela sua norma, mas nota: estes autovetores não são necessariamente ortogonais (veja próximo passo).]

Passo 6

(d) Os autovetores de cada operador são ortonormais?
Explico primeiro o que significa:
  • “Ortonormal” quer dizer que os vetores são mutuamente ortogonais (produto interno zero) e cada um tem norma 1.
Verificação para \hat{B}:
  • Já escolhemos autovetores normalizados
\mathbf{u}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-2\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_{2}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_{3}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Cálculo dos produtos internos:
\mathbf{u}_{1}\cdot\mathbf{u}_{2}=0,\quad \mathbf{u}_{1}\cdot\mathbf{u}_{3}=\frac{1}{5}(1\cdot2+(-2)\cdot1)=\frac{2-2}{5}=0,\quad \mathbf{u}_{2}\cdot\mathbf{u}_{3}=0.
Cada \mathbf{u}_{i} tem norma 1 por construção. Portanto os autovetores de B podem ser escolhidos ortonormais — isto é típico de matrizes hermitianas: existe uma base de autovetores ortonormais.
Verificação para \hat{A}:
  • Tomei os autovetores (não normalizados) \mathbf{v}^{(1)}=(-1,0,1), \mathbf{v}^{(2)}=(3,1,-1), \mathbf{v}^{(3)}=(-3,2,1).
    Calcule um produto interno qualquer, por exemplo
\mathbf{v}^{(1)}\cdot\mathbf{v}^{(2)}=(-1)\cdot 3 + 0\cdot 1 + 1\cdot(-1) = -3-1=-4\neq 0.
Logo NÃO são mutuamente ortogonais. De fato \hat{A} não é hermitiano nem normal, então seus autovetores não garantidamente formam uma base ortonormal. Resumo:
  • Para \hat{B}: sim, pode-se escolher autovetores ortonormais.
  • Para \hat{A}: não, os autovetores obtidos não são ortogonais e portanto não são ortonormais sem um processo mais fino (e mesmo assim, por não ser normal, não existe garantia de uma base ortonormal de autovetores).]

Passo 7

(e) Verificar que \hat{U}^{\dagger}\hat{B}\hat{U} é diagonal, com \hat{U} matriz dos autovetores normalizados de B.
Definimos \hat{U} como a matriz cujas colunas são os vetores ortonormais \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3} obtidos antes:
U=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{5}}\\[6pt] 0 & 1 & 0\\[6pt] -\frac{2}{\sqrt{5}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}.
Observação teórica (fórmula útil): se as colunas de U são autovetores normalizados de B, ou seja B\mathbf{u}_{j}=\lambda_{j}\mathbf{u}_{j} e \mathbf{u}_{i}^{\dagger}\mathbf{u}_{j}=\delta_{ij}, então os elementos da matriz D=U^{\dagger}BU são
D_{ij}=\mathbf{u}_{i}^{\dagger}B\mathbf{u}_{j}=\mathbf{u}_{i}^{\dagger}\lambda_{j}\mathbf{u}_{j}=\lambda_{j}\mathbf{u}_{i}^{\dagger}\mathbf{u}_{j}=\lambda_{j}\delta_{ij}.
Isto mostra que D é diagonal com entradas diagonais \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}. No nosso caso os autovalores correspondentes nas colunas escolhidas são \{5,0,0\}, logo
U^{\dagger}BU=\operatorname{diag}(5,0,0).
Se quiser checagem explícita por multiplicação de matrizes, cada coluna j de BU é \lambda_{j}\mathbf{u}_{j}, e multiplicando à esquerda por U^{\dagger} pega-se o produto interno com cada \mathbf{u}_{i}, anulando as entradas fora da diagonal. Então está verificado que a matriz é diagonal.]

Passo 8

(f) Verificar que \hat{U}^{-1}=\hat{U}^{\dagger}.
  • Observação: uma matriz U cujas colunas formam um conjunto ortonormal tem a propriedade U^{\dagger}U=I. Isto implica que U^{\dagger} é a inversa à direita de U. Como U é quadrada, isso também garante inversa à esquerda, portanto U^{-1}=U^{\dagger}.
  • No nosso caso explicitamente U tem colunas ortonormais (ver passo anterior), logo
U^{\dagger}U=I \quad\Longrightarrow\quad U^{-1}=U^{\dagger}.
Isto confirma (f).

Resposta

(a) \hat{A} não é hermitiano; \hat{B} é hermitiano.
(b) \hat{A} e \hat{B} não comutam (AB\neq BA).
(c) Autovalores e autovetores:
  • Para \hat{B}: autovalores \lambda=5,0,0.
    Autovetores (normalizados): \displaystyle \mathbf{u}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-2\end{pmatrix} (para \lambda=5), \displaystyle \mathbf{u}_{2}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}, \displaystyle \mathbf{u}_{3}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} (para \lambda=0).
  • Para \hat{A}: autovalores \lambda=1,2,-1.Autovetores (não-normalizados): \displaystyle \mathbf{v}^{(1)}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} (para \lambda=1), \displaystyle \mathbf{v}^{(2)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix} (para \lambda=2), \displaystyle \mathbf{v}^{(3)}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix} (para \lambda=-1).
(d) Para \hat{B}: sim, os autovetores podem ser escolhidos ortonormais (mostrados acima). Para \hat{A}: não, os autovetores não são mutuamente ortogonais (portanto não ortonormais).
(e) Com a matriz U cujas colunas são \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3} definidas acima, tem-se \displaystyle U^{\dagger}BU=\operatorname{diag}(5,0,0) (matriz diagonal).
(f) Como as colunas de U são ortonormais, U^{\dagger}U=I e portanto U^{-1}=U^{\dagger}.]

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