(a) Usando [\hat{X}, \hat{P}]=i \hbar, mostre que \left[\hat{X}^{2}, \hat{P}\right]=2 i \hbar \hat{X} e \left[\hat{X}, \hat{P}^{2}\right]=2 i \hbar \hat{P}.
(b) Mostre que \left[\hat{X}^{2}, \hat{P}^{2}\right]=2 i \hbar(i \hbar+2 \hat{P} \hat{X}).
(c) Calcule o comutador \left[\hat{X}^{2}, \hat{P}^{3}\right].

Passo 1

O enunciado pede os seguintes cálculos, tendo como dado inicial o comutador \left[\hat{X},\hat{P}\right]=i\hbar:
  • (a) Mostrar que \left[\hat{X}^{2},\hat{P}\right]=2 i \hbar \hat{X} e que \left[\hat{X},\hat{P}^{2}\right]=2 i \hbar \hat{P}.
  • (b) Mostrar que \left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{2}\right]=2 i \hbar\bigl(i \hbar+2 \hat{P}\hat{X}\bigr).
  • (c) Calcular \left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{3}\right].
Informações fornecidas e úteis extraídas do enunciado:
  • Foi dado explicitamente que \left[\hat{X},\hat{P}\right]=i\hbar.
  • Os objetos \hat{X} e \hat{P} são operadores; em geral não comutam.

Passo 2

Relembrando propriedades básicas dos comutadores (essas fórmulas são ferramentas que vou usar e que você pode usar na prova):
  • Definição do comutador: \left[A,B\right]=AB-BA.
  • Linearidade: \left[A,B+C\right]=\left[A,B\right]+\left[A,C\right] e \left[\alpha A,B\right]=\alpha\left[A,B\right] para escalar \alpha.
  • Produto (regra de Leibniz para comutadores):
\left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right], \qquad \left[AB,C\right]=A\left[B,C\right]+\left[A,C\right]B.
Essas identidades são fáceis de verificar expandindo os produtos e recolhendo termos; são essenciais para operar com potências de operadores.

Passo 3

Calcular \left[\hat{X}^{2},\hat{P}\right].
Usando a fórmula \left[AB,C\right]=A\left[B,C\right]+\left[A,C\right]B com A=\hat{X}, B=\hat{X}, C=\hat{P}, obtemos
\left[\hat{X}^{2},\hat{P}\right] = \hat{X}\left[\hat{X},\hat{P}\right] + \left[\hat{X},\hat{P}\right]\hat{X}.
Agora substituímos o dado \left[\hat{X},\hat{P}\right]=i\hbar:
\left[\hat{X}^{2},\hat{P}\right] = \hat{X}\,(i\hbar) + (i\hbar)\,\hat{X} = 2 i \hbar \,\hat{X}.
Portanto a primeira parte de (a) está demonstrada.

Passo 4

Calcular \left[\hat{X},\hat{P}^{2}\right].
Usando a fórmula \left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right] com A=\hat{X}, B=\hat{P}, C=\hat{P}, temos
\left[\hat{X},\hat{P}^{2}\right] = \left[\hat{X},\hat{P}\right]\hat{P} + \hat{P}\left[\hat{X},\hat{P}\right].
Substituindo \left[\hat{X},\hat{P}\right]=i\hbar:
\left[\hat{X},\hat{P}^{2}\right] = (i\hbar)\hat{P} + \hat{P}(i\hbar) = 2 i \hbar\,\hat{P}.
Assim a segunda parte de (a) está demonstrada.

Passo 5

Observação útil para (b): em muitos passos vai aparecer a combinação \hat{X}\hat{P}+\hat{P}\hat{X}. Podemos reescrevê-la usando \left[\hat{X},\hat{P}\right]=i\hbar. Como
\hat{X}\hat{P}=\hat{P}\hat{X}+\left[\hat{X},\hat{P}\right] =\hat{P}\hat{X}+i\hbar,
temos
\hat{X}\hat{P}+\hat{P}\hat{X}=2\hat{P}\hat{X}+i\hbar.
Isso ajudará a obter a forma pedida em (b).

Passo 6

Calcular \left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{2}\right].
Usando \left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right] com A=\hat{X}^{2}, B=\hat{P}, C=\hat{P}:
\left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{2}\right] = \left[\hat{X}^{2},\hat{P}\right]\hat{P} + \hat{P}\left[\hat{X}^{2},\hat{P}\right].
Pelo resultado do Passo 3, \left[\hat{X}^{2},\hat{P}\right]=2 i \hbar \hat{X}. Substituindo:
\left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{2}\right] = (2 i \hbar \hat{X})\hat{P} + \hat{P}(2 i \hbar \hat{X}) = 2 i \hbar\,(\hat{X}\hat{P}+\hat{P}\hat{X}).
Agora usamos a identidade do Passo 5 para reescrever \hat{X}\hat{P}+\hat{P}\hat{X}:
\hat{X}\hat{P}+\hat{P}\hat{X}=i\hbar + 2\hat{P}\hat{X}.
Portanto
\left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{2}\right] = 2 i \hbar\bigl(i\hbar + 2\hat{P}\hat{X}\bigr),
que é exatamente a forma pedida no enunciado.

Passo 7

Calcular \left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{3}\right].
Duas estratégias possíveis; a mais direta aqui é usar primeiro \left[\hat{X},\hat{P}^{3}\right] e em seguida a fórmula \left[AB,C\right]=A\left[B,C\right]+\left[A,C\right]B com A=\hat{X}, B=\hat{X}, C=\hat{P}^{3}.
Calculemos \left[\hat{X},\hat{P}^{3}\right] usando a regra do produto em três fatores:
\left[\hat{X},\hat{P}^{3}\right] = \left[\hat{X},\hat{P}\right]\hat{P}^{2} + \hat{P}\left[\hat{X},\hat{P}\right]\hat{P} + \hat{P}^{2}\left[\hat{X},\hat{P}\right].
Substituindo \left[\hat{X},\hat{P}\right]=i\hbar em cada termo,
\left[\hat{X},\hat{P}^{3}\right] = i\hbar\,\hat{P}^{2} + \hat{P}(i\hbar)\hat{P} + \hat{P}^{2}(i\hbar) = i\hbar\,\hat{P}^{2} + i\hbar\,\hat{P}^{2} + i\hbar\,\hat{P}^{2} = 3 i \hbar\,\hat{P}^{2}.
Agora usamos \left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{3}\right]=\hat{X}\left[\hat{X},\hat{P}^{3}\right] + \left[\hat{X},\hat{P}^{3}\right]\hat{X} (fórmula \left[AB,C\right] com A=\hat{X}, B=\hat{X}, C=\hat{P}^{3}):
\left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{3}\right] = \hat{X}\,(3 i\hbar\,\hat{P}^{2}) + (3 i\hbar\,\hat{P}^{2})\,\hat{X} = 3 i \hbar\,(\hat{X}\hat{P}^{2} + \hat{P}^{2}\hat{X}).
Opcionalmente, podemos reescrever essa resposta deslocando \hat{X} para a direita em \hat{X}\hat{P}^{2} usando \left[\hat{X},\hat{P}^{2}\right]=2 i \hbar \hat{P} (Passo 4):
\hat{X}\hat{P}^{2} = \hat{P}^{2}\hat{X} + \left[\hat{X},\hat{P}^{2}\right] = \hat{P}^{2}\hat{X} + 2 i \hbar\,\hat{P},
logo
\hat{X}\hat{P}^{2} + \hat{P}^{2}\hat{X} = 2\hat{P}^{2}\hat{X} + 2 i \hbar\,\hat{P},
e então
\left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{3}\right] = 3 i \hbar\bigl(2\hat{P}^{2}\hat{X} + 2 i \hbar\,\hat{P}\bigr) = 6 i \hbar\,\hat{P}^{2}\hat{X} - 6 \hbar^{2}\hat{P},
pois 3 i\hbar\cdot 2 i\hbar = 6 i^{2}\hbar^{2} = -6\hbar^{2}.
Ambas as formas são válidas e equivalentes; a forma mais compacta e direta é 3 i \hbar(\hat{X}\hat{P}^{2}+\hat{P}^{2}\hat{X}).

Resposta

\left[\hat{X}^{2},\hat{P}\right]=2 i \hbar \hat{X}
\left[\hat{X},\hat{P}^{2}\right]=2 i \hbar \hat{P}
\left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{2}\right]=2 i \hbar\bigl(i \hbar+2 \hat{P}\hat{X}\bigr)
\left[\hat{X}^{2},\hat{P}^{3}\right]=3 i \hbar\bigl(\hat{X}\hat{P}^{2}+\hat{P}^{2}\hat{X}\bigr)=6 i \hbar\,\hat{P}^{2}\hat{X}-6\hbar^{2}\hat{P}

Exercícios relacionados