(a) Usando
, mostre que
e
.
(b) Mostre que
.
(c) Calcule o comutador
.
(b) Mostre que
(c) Calcule o comutador
Passo 1
O enunciado pede os seguintes cálculos, tendo como dado inicial o comutador
:
- (a) Mostrar que
e que . - (b) Mostrar que
. - (c) Calcular
.
Informações fornecidas e úteis extraídas do enunciado:
- Foi dado explicitamente que
. - Os objetos
e são operadores; em geral não comutam.
Passo 2
Relembrando propriedades básicas dos comutadores (essas fórmulas são ferramentas que vou usar e que você pode usar na prova):
- Definição do comutador:
. - Linearidade:
e para escalar . - Produto (regra de Leibniz para comutadores):
Essas identidades são fáceis de verificar expandindo os produtos e recolhendo termos; são essenciais para operar com potências de operadores.
Passo 3
Calcular
.
Usando a fórmula
com
,
,
, obtemos
Agora substituímos o dado
:
Portanto a primeira parte de (a) está demonstrada.
Passo 4
Calcular
.
Usando a fórmula
com
,
,
, temos
Substituindo
:
Assim a segunda parte de (a) está demonstrada.
Passo 5
Observação útil para (b): em muitos passos vai aparecer a combinação
. Podemos reescrevê-la usando
. Como
temos
Isso ajudará a obter a forma pedida em (b).
Passo 6
Calcular
.
Usando
com
,
,
:
Pelo resultado do Passo 3,
. Substituindo:
Agora usamos a identidade do Passo 5 para reescrever
:
Portanto
que é exatamente a forma pedida no enunciado.
Passo 7
Calcular
.
Duas estratégias possíveis; a mais direta aqui é usar primeiro
e em seguida a fórmula
com
,
,
.
Calculemos
usando a regra do produto em três fatores:
Substituindo
em cada termo,
Agora usamos
(fórmula
com
,
,
):
Opcionalmente, podemos reescrever essa resposta deslocando
para a direita em
usando
(Passo 4):
logo
e então
pois
.
Ambas as formas são válidas e equivalentes; a forma mais compacta e direta é
.