Considere o operador linear T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(z, 12 x+y+12 z, x).
(a) Escreva a matriz [T] desse operador em relação à base canônica.
(b) Escreva pT(lambda)=det([T]-lambda 1)𝟙, o polinômio característico de T. Qual o grau desse polinômio, na variável lambda ?
(c) Obtenha as raízes de pT(lambda), os autovalores de T. Qual a multiplicidade algébrica de cada raiz?
(d) Para cada autovalor lambda obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores v associados a lambda pela equação T(v)=lambda v.
(e) Quantos autovetores L.I. estão associados a cada autovalor? Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor. Compare com a multiplicidade algébrica.
(f) O conjunto B de autovetores que você encontrou forma uma base de R^3 ? Se sim, escreva a matriz mudança de base de B para a base canônica: [I]C^B.
(g) Se B for base, escreva [T]B, a matriz de T na base B.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=l(z,tfrac12x+y+tfrac12z,;xr)
Precisamos usar:
– representação matricial em base canônica,
– cálculo de determinante para obter o polinômio característico,
– resolução de [T]-lambda I para achar autovalores e autovetores,
– comparação de multiplicidades algébricas e geométricas,
– teste de diagonalizabilidade e, se possível, mudança de base.

Passo 2

Para achar [T] na base canônica e1,e2,e3 calculamos
T(e1)=T(1,0,0)=(0,tfrac12,1), T(e2)=T(0,1,0)=(0,1,0), T(e3)=T(0,0,1)=(1,tfrac12,0)
Colocando esses vetores como colunas,
[T]= 0 & 0 & 1 tfrac12 & 1 & tfrac12 1 & 0 & 0

Passo 3

O polinômio característico é
pT(lambda)=detl([T]-lambda Ir) =det -lambda & 0 & 1 tfrac12 & 1-lambda & tfrac12 1 & 0 & -lambda
Expandindo pela segunda coluna,
pT(lambda)=(1-lambda)l((-,lambda)(-,lambda)-1cdot1r) =(1-lambda)(lambda^2-1) =-(lambda-1)^2(lambda+1)
O grau em lambda é 3.

Passo 4

As raízes de pT(lambda) são
lambda=1,com mu<iplicidade algébrica 2, lambda=-1,com mu<iplicidade algébrica 1 éé

Passo 5

Para lambda=1, resolvemos
l([T]-Ir)v=0, i.e.
-1&0&1tfrac12&0&tfrac121&0&-1(x,y,z)^T=0.
Isso leva a
x=z, x+z=0;Rightarrow;x=z=0, y livre
Autovetores: (0,y,0)=y(0,1,0).
Para lambda=-1, resolvemos
l([T]+Ir)v=0, i.e.
1&0&1tfrac12&2&tfrac121&0&1(x,y,z)^T=0.
Isso dá
x+z=0, 2y=0;Rightarrow;y=0,;x=-z,
Autovetores: (x,0,z)=z(-1,0,1).

Passo 6

A multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é
lambda=1:;1,
lambda=-1:;1.
Comparando com a multiplicidade algébrica, vemos que para lambda=1 geo =1 < alg =2, logo T não é diagonalizável.

Passo 7

O conjunto de todos os autovetores é
B=(0,1,0),;(-1,0,1),
que tem apenas 2 vetores L.I. em R^3. Portanto não forma base de R^3 e não existe matriz de mudança de base completa de B para a base canônica.

Passo 8

Como não há base de três autovetores, não podemos construir [T]B diagonal.

Resposta

(a)
[T]= 0 & 0 & 1 tfrac12 & 1 & tfrac12 1 & 0 & 0
(b)
pT(lambda)=det([T]-lambda I) =-(lambda-1)^2(lambda+1),
grau 3.
(c)
Autovalores: lambda=1 (mult. alg. 2), lambda=-1 (mult. alg. 1).
(d)
Para lambda=1: E1=span(0,1,0).
Para lambda=-1: E-1=span(-1,0,1).
(e)
Multiplicidade geométrica: 1 em ambos os casos. Para lambda=1, 1<2 (não coincide).
(f)
Não existe base completa de autovetores em R^3.
(g)
Não se aplica ( T não é diagonalizável).

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