Considere o operador linear dado por .
(a) Escreva a matriz desse operador em relação à base canônica.
(b) Escreva , o polinômio característico de . Qual o grau desse polinômio, na variável ?
(c) Obtenha as raízes de , os autovalores de . Qual a multiplicidade algébrica de cada raiz?
(d) Para cada autovalor obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores associados a pela equação .
(e) Quantos autovetores L.I. estão associados a cada autovalor? Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor. Compare com a multiplicidade algébrica.
(f) O conjunto de autovetores que você encontrou forma uma base de ? Se sim, escreva a matriz mudança de base de para a base canônica: .
(g) Se for base, escreva , a matriz de na base .
Passo 1
O enunciado define o operador linear
Precisamos usar:
– representação matricial em base canônica,
– cálculo de determinante para obter o polinômio característico,
– resolução de para achar autovalores e autovetores,
– comparação de multiplicidades algébricas e geométricas,
– teste de diagonalizabilidade e, se possível, mudança de base.
Para lambda=1, resolvemos l([T]-Ir)v=0, i.e. -1&0&1tfrac12&0&tfrac121&0&-1(x,y,z)^T=0.
Isso leva a
x=z, x+z=0;Rightarrow;x=z=0, y livre
Autovetores: (0,y,0)=y(0,1,0).
Para lambda=-1, resolvemos l([T]+Ir)v=0, i.e. 1&0&1tfrac12&2&tfrac121&0&1(x,y,z)^T=0.
Isso dá
x+z=0, 2y=0;Rightarrow;y=0,;x=-z,
Autovetores: (x,0,z)=z(-1,0,1).
Passo 6
A multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é lambda=1:;1, lambda=-1:;1.
Comparando com a multiplicidade algébrica, vemos que para lambda=1 geo =1 < alg =2, logo Tnão é diagonalizável.
Passo 7
O conjunto de todos os autovetores é
B=(0,1,0),;(-1,0,1),
que tem apenas 2 vetores L.I. em R^3. Portanto não forma base de R^3 e não existe matriz de mudança de base completa de B para a base canônica.
Passo 8
Como não há base de três autovetores, não podemos construir [T]B diagonal.
grau 3.
(c)
Autovalores: lambda=1 (mult. alg. 2), lambda=-1 (mult. alg. 1).
(d)
Para lambda=1: E1=span(0,1,0).
Para lambda=-1: E-1=span(-1,0,1).
(e)
Multiplicidade geométrica: 1 em ambos os casos. Para lambda=1, 1<2 (não coincide).
(f)
Não existe base completa de autovetores em R^3.
(g)
Não se aplica (T não é diagonalizável).