Seja
um espaço vetorial
dimensional sobre
com produto interno.
a) Mostre que dado
, então a função
dada por
é um funcional linear.
b) Mostre que a aplicação
é o dual de
dada por
é um isomorfismo.
a) Mostre que dado
b) Mostre que a aplicação
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial real
de dimensão
munido de um produto interno
. Para cada vetor
definimos uma função
Em (a) precisamos mostrar que
é um funcional linear, isto é,
. Em (b) definimos
e queremos provar que
é um isomorfismo de espaços vetoriais.
Passo 2
Para (a) mostramos que
satisfaz aditividade e homogeneidade em
. Dados
e
, temos:
Logo,
é linear e pertence a
.
Passo 3
Agora em (b) provamos que
é linear. Se
e
, então
Como
segue
, e
logo
. Assim
é linear.
Passo 4
Prova da injetividade de
. Suponha
(o funcional nulo), isto é,
para todo
. Em particular, tomando
, fica
Pelo produto interno,
implica
. Portanto
e
é injetiva.
Passo 5
Como
tem dimensão finita
, vale
. Um morfismo linear injetivo entre espaços de mesma dimensão finita é também sobrejetivo. Logo
é sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Concluímos que
é um isomorfismo de espaços vetoriais.
Resposta
A)
é linear porque preserva soma e escalar em
.
B) é um isomorfismo, pois é linear, injetiva (kernel trivial) e, por dimensão, também sobrejetiva.
B)