Seja V um espaço vetorial n dimensional sobre R com produto interno.
a) Mostre que dado v in V, então a função fv: V R dada por fv(u)=lang<= u, vrang<= é um funcional linear.
b) Mostre que a aplicação T: V V^*(V^* é o dual de V) dada por T(v)=fv é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial real V de dimensão n munido de um produto interno lang<=cdot,cdotrang<=. Para cada vetor vin V definimos uma função
fv:VtoR, fv(u)=lang<= u,vrang<=
Em (a) precisamos mostrar que fv é um funcional linear, isto é, fvin V^*. Em (b) definimos
T:Vto V^*, T(v)=fv,
e queremos provar que T é um isomorfismo de espaços vetoriais.

Passo 2

Para (a) mostramos que fv satisfaz aditividade e homogeneidade em u. Dados u1,u2in V e alphainR, temos:
fv(u1+u2)=lang<= u1+u2,vrang<= =lang<= u1,vrang<=+lang<= u2,vrang<= =fv(u1)+fv(u2),
fv(alpha u1)=lang<= alpha u1,vrang<= =alphalang<= u1,vrang<= =alpha fv(u1)
Logo, fv é linear e pertence a V^*.

Passo 3

Agora em (b) provamos que T é linear. Se v,win V e alphainR, então
T(v+w)=fv+we T(alpha v)=falpha v
Como
fv+w(u)=lang<= u,v+wrang<= =lang<= u,vrang<=+lang<= u,wrang<= =fv(u)+fw(u),
segue fv+w=fv+fw, e
falpha v(u)=lang<= u,alpha vrang<= =alphalang<= u,vrang<= =alpha fv(u),
logo falpha v=alpha fv. Assim T é linear.

Passo 4

Prova da injetividade de T. Suponha T(v)=0 (o funcional nulo), isto é, fv(u)=0 para todo uin V. Em particular, tomando u=v, fica
0=fv(v)=lang<= v,vrang<=
Pelo produto interno, lang<= v,vrang<==0 implica v=0. Portanto ker T=0 e T é injetiva.

Passo 5

Como V tem dimensão finita n, vale dim V^*=n. Um morfismo linear injetivo entre espaços de mesma dimensão finita é também sobrejetivo. Logo T é sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Concluímos que T é um isomorfismo de espaços vetoriais.

Resposta

A) fv é linear porque preserva soma e escalar em u.
B) T é um isomorfismo, pois é linear, injetiva (kernel trivial) e, por dimensão, também sobrejetiva.

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